Fizičko klatno

Fizičko klatno je sistem koji obrazuje čvrsto telo koje može da osciluje pod uticajem Zemljine teže oko horizontalne ose koja ne prolazi kroz centar mase tog tela.

Diferencijalna jednačina oscilovanja

Ukoliko se zanemari otpor sredine može se pisati:

${\displaystyle I{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-mgh\sin \theta }$.

Ukoliko se u prethodnu jednakost zameni ${\displaystyle {\frac {r^{2}}{h}}+h=l}$, dobija se:

${\displaystyle l{\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}=-g\sin \theta }$

Iz dobijenog obrasca se vidi direktna analogija između oscilovanja matematičkog klatna i fizičkog klatna preko veličine ${\displaystyle l}$ koja se naziva redukovana dužina fizičkog klatna.

Period oscilovanja

Pojednostavljen metod određivanja približne formule za period oscilovanja fizičkog klatna se sastoji u primeni analogije sa harmonijskim oscilovanjem i njenom daljem korišćenju u zakonima održanja.

Nešto složeniji princip zasniva se na primeni prethodno date diferencijalne jednačine oscilovanja.

Najpre levu stranu treba pomnožiti sa ${\displaystyle {\frac {d^{2}\theta }{dt^{2}}}dt=d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)}$, a desnu sa ${\displaystyle d\theta \,}$. Tako se dobija:

${\displaystyle l{\frac {d\theta }{dt}}d\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)=-g\sin \theta \,d\theta }$.

Integralisanjem:

${\displaystyle l\left({\frac {d\theta }{dt}}\right)^{2}=2g\cos \theta +C}$,

gde je ${\displaystyle C\,}$ konstanta. Vrednost iste se nalazi iz:

${\displaystyle \theta =\pm \alpha \,\,\,,{\frac {d\theta }{dt}}=0}$.

Odakle se daljim sređivanjem dobija:

${\displaystyle C=-2g\cos \alpha \,}$

${\displaystyle {\frac {d\theta }{dt}}=2{\sqrt {\frac {g}{l}}}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}$.

Izdvajanjem promenljivih i integralisanjem:

${\displaystyle {\sqrt {\frac {g}{l}}}t=\int \limits _{0}^{\theta }{\frac {d\left({\frac {\theta }{2}}\right)}{\sqrt {\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}-\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}}}}}$.

Zamenom ${\displaystyle \sin {\frac {\theta }{2}}=\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin \varphi }$ dobija se:

${\displaystyle t={\sqrt {\frac {l}{g}}}\int \limits _{0}^{\varphi }{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}={\sqrt {\frac {l}{g}}}F\left(\varphi \setminus \alpha /2\right)}$.

Za period oscilovanja pronalazi se formula:

${\displaystyle T=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,\int \limits _{0}^{\pi /2}{\frac {d\varphi }{\sqrt {1-\sin ^{2}{\frac {\alpha }{2}}\sin ^{2}\varphi }}}=4{\sqrt {\frac {l}{g}}}\,K\left(\sin {\frac {\alpha }{2}}\right)}$.

Ova formula se može dalje pojednostaviti uz korišćenje izvesnih aposkrimacija na sledeću: ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}}$

Redukovana dužina fizičkog klatna

Glavni članak: Redukovana dužina fizičkog klatna

Zbog svođenja opšte formule za period oscilovanja kod fizičkog klatna na formulu za određivanje istog kod matematičkog klatna uvodi se veličina koja se naziva redukovana dužina fizičkog klatna.

Definiše se kao dužina niti koju ima ono matematičko klatno koje ima isti period oscilovanja kao i dato fizičko klatno.

U vidu formule se to piše u obliku ${\displaystyle l_{0}={{I} \over {ml}}}$, gde je ${\displaystyle l_{0}}$ pomenuta veličina, m- masa, l- rastojanje centra mase od ose oscilovanja, I-moment inercije datog tela za obrtnu osu.

Ovaj obrazac se dobija direktnim upoređivanjem formula za period oscilovanja fizičkog i matematičkog klatna.

${\displaystyle T_{m}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$

${\displaystyle T_{f}=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}}$

Matematičko klatno

Glavni članak: Matematičko klatno

Prethodno sprovedena analogija između fizičkog i matematičkog klatna je sasvim opravdana. Matematičko klatno je u stvari samo oblik fizičkog. Tu se telo može smatrati materijalnom tačkom momenta inercije${\displaystyle I={mr^{2}}}$. Zamenom ove formule u ${\displaystyle T=2\pi {\sqrt {\frac {I}{mgl}}}}$ (gde je ${\displaystyle r=l}$ ) se dobija ${\displaystyle T_{m}=2\pi {\sqrt {\frac {l}{g}}}}$, što upravo i predstavlja obrazac za period oscilovanja matematičkog klatna.

Povezano

• Matematičko klatno
• Oscilacije
• Periodično kretanje
• Period oscilovanja