Broj e

Ovo je članak o matematičkoj konstanti. Za prehrambene aditive, vidi E-brojevi.

Broj ${\displaystyle e}$, kao matematička konstanta, još nazvan i Eulerov broj ili Napierova konstanta, je baza prirodnog logaritma i jedan je od najznačajnijih brojeva u suvremenoj matematici, pored neutralnih elemenata za zbrajanje i množenje, 0 i 1, imaginarne jedinice i i broja pi. Osim što je iracionalan i realan, ovaj broj je još i transcendentan. Do tridesetog decimalnog mjesta, ovaj broj iznosi:

e ≈ 2.71828 18284 59045 23536 02874 71352 34678 2376732 6727 267 274728 3 39^˘654...

Broj e se može definirati kao :

1. Limes niza brojeva

   ${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}}$

2. Suma beskonačnog niza:

   ${\displaystyle e=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{n!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+{\frac {1}{4!}}+\cdots }$

   gdje je n! faktorijela n.

3. Pozitivna vrijednost koja zadovoljava sljedeću jednadžbu :

   ${\displaystyle \int _{1}^{e}{\frac {1}{t}}\,dt={1}}$

   istovjetnost između ova tri slučaja dokazanа.

4. Ovaj broj se sreće i kao dio Eulerovog identitetа:

   ${\displaystyle e^{\mathrm {i} \cdot \pi }=-1}$