Aksiom

Grčko poreklo

Aksioma (Axiom):

• od grč. αξίω¬μα, "potraživanje";
• odn. grč. άξιόειν, "držati za vredno" ili "držati za istinito", otprilike "ono što se drži za istinito";
• ili grč. αξιωμα - iskaz koji vredi da se usvoji, neosporan.

Istorija

Ako je na delu jedna teorija u obliku aksiomatskog sistema, tada se ona nalazi na veoma uznapredovalom stupnju svog razvoja. Prvi začeci aksiomatizovanja geometrije nalaze se već kod Euklida (oko 300. pne.); a prvi ga je potpuno dostigao D. Hilbert krajem 19. veka. U raspravi ο aksiomatskom uobličavanju geometrije središnju ulogu je igrala tzv. aksioma ο paralelama, koja otirilike glasi: " Ako je α prava, a Ρ tačka koja ne leži na a, tada u ravni u kojoj leže α i Ρ postoji tačno jedna prava kroz Ρ koja ne seče a, naime paralela od a."

Pošto njen sadržaj mnogima nije važio kao očigledan, pokušalo se da se ovaj stav izvede iz drugih aksioma; tek se oko polovine 19. veka mogao pribaviti dokaz da ovo nije moguće. Potom su se razvile i "neeuklidske" geometrije, u kojima ne važi aksioma ο paralelama.

Prvi pokušaji da se logika formuliše kao aksiomatski sistem potiču od G. V. Lajbnica. Suštinski pomaci su ovde, kao i u oblasti matematike, bili učinjeni od druge polovine 19. veka. Značajne doprinose su izm. ost. pružili G. Frege i D. Hilbert. - U toku modernog razvoja postepeno je počeo da se menja smisao "aksiome".

Presudan za izbor određenih stavova kao aksioma neke teorije sada je manje stepen njihove očiglednosti nego pitanje od koje osnove se daju što je moguće jednostavnije i elegantnije izvesti istiniti iskazi teorije. Istovremeno se započelo istraživanje aksiomatskih sistema u pogledu sadržinskog tumačenja njihovih stavova kao čisto formalno određenih računa.

U empirijskim naukama, a posebno u fizici, često se kao aksiome označavaju veoma uopšteni stavovi koji su iskustvom potvrđeni u visokom stepenu (npr. "njutnovske aksiome mehanike").

Katkad se preduzimao i pokušaj da se filozofske teorije prema uzoru geometrije formulišu kao aksiomatski sistemi. Poznat je između ostalog, trud B. Spinoze da na ovaj način ("more geometrico") predstavi etika.

Posebno u geometriji, logici i matematici kao aksiome se označavaju takvi stavovi koji su temeljni za odnosnu disciplinu: one same nisu dokazive, nego obrazuju nezaobilaznu osnovu za dokaz drugih stavova. Njihovo opravdanje se tradicionalno videlo (priključujući se Aristotelu i Euklidu) u njihovom neposredno očiglednom karakteru. Skup stavova koji se deli na aksiome i posledice iz njih naziva se aksiomatskim sistemom.

U matematici

Aksioma je iskaz koji se usvaja bez dokaza i smatra kao ishodni za izgradnju ove ili one matematičke teorije.

Sistem aksioma kao logični fundament zasnivanja matematičke teorije nije uvek završen, pa se kao i same aksiome menja i usavršava. Sistem aksioma mora da zadovoljava zahteve:

1. neprotivrečnosti (Neprotivrečnost sistema aksioma);
2. nezavisnosti (Nezavisnost sistema aksioma) i;
3. potpunosti (Potpunost sistema aksioma).

Primeri

1. Euklidova aksioma paralelnosti (Plajferova aksioma): Kroz tačku A koja ne leži na datoj pravoj a, u ravni koja je određena tačkom A i pravom a može se povući najviše jedna prava a' paralelna pravoj a.
2. Arhimedova aksioma: za bilo koja dva broja a i b, koji nisu negativni, uvek postoji prirodan broj n, takav da važi nejednakost an>b.
3. Aksioma Lobačevskog: suprotnost Plajferove aksiome.
4. Hilbertove aksiome: pet grupa aksioma kojima je strogo definisana savremena euklidska geometrija.
5. Dedekindova aksioma: Neka je otvorena duž AB razložena na uniju dva disjunktna neprazna podskupa U i V.Ako njedna tačka iz skupa U nije izmđu neke dve tačke skupa V i nijedna tačka skupa V nije između neke dve tačke skupa U, tada postoji jedinstvena tačka C otvorene duži AB takva da je B(A',C,B') za svako A'eU\{C} i svako B'eV\{C}.
6. Aksioma apstrakcije.

Svaka geometrija (afina, Euklidova, projektivna, ...) ima svoj sistem aksioma. Sa druge strane, svaka geometrija može biti definisana svojom grupom transformacija (Erlangenski program) ili diferencijalno geometrijskim svojstvima prostora te geometrije.

Postoje aksiomatski građena geometrija, aritmetika, teorija verovatnoće itd.