У этого термина существуют и другие значения, см.
Производная .
В математическом анализе частная производная (первая производная) — одно из обобщений понятия производной на случай функции нескольких переменных.
Частная производная — это предел отношения приращения функции по выбранной переменной к приращению этой переменной, при стремлении этого приращения к нулю.
Частная производная функции
f
{\displaystyle f}
по переменной
x
{\displaystyle x}
обычно обозначается
∂
f
∂
x
{\displaystyle {\tfrac {\partial f}{\partial x}}}
,
f
x
{\displaystyle f_{x}}
или
D
x
f
{\displaystyle D_{x}f}
. В случае если переменные нумерованы, например
x
1
,
…
,
x
n
{\displaystyle x_{1},\dots ,x_{n}}
используются также обозначения
f
i
{\displaystyle f_{i}}
и
D
i
f
{\displaystyle D_{i}f}
.
В явном виде частная производная функции
f
(
x
1
,
x
2
,
…
,
x
n
)
{\displaystyle f(x_{1},x_{2},\ldots ,x_{n})}
в точке
(
a
1
,
a
2
,
…
,
a
n
)
{\displaystyle (a_{1},a_{2},\ldots ,a_{n})}
определяется следующим образом:
∂
f
∂
x
k
(
a
1
,
⋯
,
a
n
)
=
lim
Δ
x
→
0
f
(
a
1
,
…
,
a
k
+
Δ
x
,
…
,
a
n
)
−
f
(
a
1
,
…
,
a
k
,
…
,
a
n
)
Δ
x
.
{\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial x_{k}}}(a_{1},\cdots ,a_{n})=\lim _{\Delta x\to 0}{\frac {f(a_{1},\ldots ,a_{k}+\Delta x,\ldots ,a_{n})-f(a_{1},\ldots ,a_{k},\ldots ,a_{n})}{\Delta x}}.}
Подробнее , ...
Оператор \ Функция
f
(
x
)
{\displaystyle f(x)}
f
(
x
,
y
,
u
(
x
,
y
)
,
v
(
x
,
y
)
)
{\displaystyle f(x,y,u(x,y),v(x,y))}
Дифференциал
1:
d
f
=
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x}
2:
d
x
f
=
f
x
′
d
x
{\displaystyle \operatorname {d} _{x}\!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x}
3:
d
f
=
f
x
′
d
x
+
f
y
′
d
y
+
f
u
′
d
u
+
f
v
′
d
v
{\displaystyle \operatorname {d} \!f=f'_{x}\operatorname {d} \!x+f'_{y}\operatorname {d} \!y+f'_{u}\operatorname {d} \!u+f'_{v}\operatorname {d} \!v}
Частная производная (первая производная)
f
x
′
=
(
1
)
d
f
d
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}}
f
x
′
=
(
2
)
d
x
f
d
x
=
∂
f
∂
x
{\displaystyle f'_{x}{\overset {\underset {\mathrm {(2)} }{}}{=}}{\frac {\operatorname {d} _{x}\!f}{\operatorname {d} \!x}}={\partial f \over \partial x}}
Полная производная (вторая производная)
d
f
d
x
=
(
1
)
f
x
′
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(1)} }{}}{=}}f'_{x}}
d
f
d
x
=
(
3
)
f
x
′
+
f
u
′
d
u
d
x
+
f
v
′
d
v
d
x
;
(
f
y
′
d
y
d
x
=
0
)
{\displaystyle {\frac {\operatorname {d} \!f}{\operatorname {d} \!x}}{\overset {\underset {\mathrm {(3)} }{}}{=}}f'_{x}+f'_{u}{\frac {\operatorname {d} \!u}{\operatorname {d} \!x}}+f'_{v}{\frac {\operatorname {d} \!v}{\operatorname {d} \!x}};(f'_{y}{\frac {\operatorname {d} \!y}{\operatorname {d} \!x}}=0)}
Закрыть
График функции z = x ² + xy + y ² . Частная производная в точке (1, 1, 3) при постоянном y соответствует углу наклона касательной прямой , параллельной плоскости xz .
Сечения графика, изображенного выше, плоскостью y = 1