Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Целая рациональная функция (также полиномиальная функция) — числовая функция, задаваемая многочленом. Наиболее простыми представителями целой рациональной функции являются константная, линейная и квадратичная функции.
Наряду с дробно-рациональными функциями, целые рациональные функции являются частным случаем рациональных функций.
Целая рациональная функция — функция одного вещественного переменного вида:
где , и .
Иначе говоря, целая рациональная функция представляет собой линейную комбинацию нескольких степенных функций.
Полиномиальная функция над полем действительных чисел определена всюду и является непрерывной на всей своей области определения. Её множество значений также является подмножеством множества действительных чисел. При чётном множество значений будет, в зависимости от знака старшего коэффициента , ограничено сверху или снизу (см. также таблицу).
Предел полиномиальной функции на бесконечности всегда существует, а его конкретное значение зависит от чётности степени и знака при старшем коэффициенте . При этом график полиномиальной функции ведёт себя точно так же, как и график степенной функции :
Предел полиномиальной функции в каждой точке совпадает со значением функции в этой точке: .
Например, для функции имеем:
Полиномиальная функция является чётной, если все показатели степени в её записи являются чётными числами. График такой функции обладает осевой симметрией по отношению к оси ординат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства , справедливого по отношению к чётным функциям. Чётными, например, являются следующие полиномиальные функции:
Полиномиальная функция является нечётной, если все показатели степени в её записи являются нечётными числами. График такой функции обладают центральной симметрией по отношению к центру системы координат). Эта симметрия имеет место ввиду равенства , выполняющегося для нечётных функциям. Нечётными являются, например, следующие полиномиальные функции:
Если в записи полиномиальной функции встречаются как чётные, так и нечётные показатели, такая функция не является ни чётной, ни ничётной. По этой причине её график не обладает симметрией ни по отношению к оси ординат, ни по отношению к центру системы координат. Тем не менее, такие функции могут обладать более сложными случаями симметрии. В частности, справедливы следующие утверждения:
Кроме того, также имеют место следующие свойства:
Полиномиальная функция дифференцируема во всей своей области определения. Её производная легко находится с помощью элементарных правил дифференцирования. Так, производная функции вычисляется следующим образом:
Полиномиальная функция также и интегрируема во всей своей области определения. Её первообразная также легко находится с помощью элементарных правил интегрирования. Например, первообразная той же функции , что и в примере выше, вычисляется следующим образом:
Нетрудно заметить, что производная и первобразная полиномиальной функции степени также сами являются полиномиальными. При этом функция имеет степень и функция — степень (за исключением тривиального случая, когда ).
Нули полиномиальной функции совпадают с корнями многочлена, присутствующего в её уравнении. Таким образом, для нахождения нулей необходимо решить уравнение . Метод решения во многом зависит от конкретного уравнения функции.
Если функция записана в факторизированном виде , где каждый из факторов представляет из себя линейный двучлен, то действительные числа , , …, являются нулями функции , а натуральные числа , , …, показывают кратность соответствующих нулей этой функции. При этом выполняется условие: . Таким образом, степень функции определяет максимально возможное число её нулей над полем действительных чисел. В случае обобщения полиномиальной функции на поле комплексных чисел, в соответствии с основной теоремой алгебры, будет выполняться равенство: .
Так, например, полиномиальная функция имеет три нуля, а именно: (кратности 3), (кратности 1) и (кратности 2). Квадратный двучлен не имеет действительных корней, поэтому не может быть далее факторизирован на линейные множители.
В общем, для нахождения нулей полиномиальной функции степени и используются методы, применяемые для решения соответственно линейных и квадратных уравнений. Для нахождения нулей полиномиальной функции степени там, где это возможно, могут быть использованы различные специальные методы решения алгебраических уравнений высших степеней (в особенности это касается биквадратных и степенных уравнений). В более общих случаях применяются либо такие универсальные методы как деление многочленов столбиком или схема Горнера, позволяющие, однако, найти лишь целочисленные (точные) решения, либо используются численные методы (например, метод Ньютона) для нахождения всех (но лишь приближённых) решений.
Методы нахождения целочисленных корней многочлена основаны на следствии из теоремы Безу. В частности, для факторизации полиномиальной функции с целыми коэффициентами сначала среди всех делителей свободного коэффициента подбирается один любой корень , то есть такое целое число, для которого справедливо: . Затем путём деления столбиком или с помощью схемы Горнера многочлена на двучлен производится факторизация исходного многочлена к виду , где — многочлен степени . Таким образом, степень исходной функции, а значит, и её сложность, уменьшается. Нахождение нулей функции сводится к нахождению нулей функции .
Так, например, для нахождения нулей функции (см. пример) с целыми коэффициентами сначала «угадывается» один корень (число находится среди делителей числа ), а затем исходный многочлен делится на двучлен . Дальнейшее нахождение остальных нулей функции сводится к нахождению нулей результирующей функции , которые легко можно найти, решив соответствующее квадратное уравнение.
Так как необходимым условием для существования локального экстремума функции в точке является нулевое значение углового коэффициента в ней, то для нахождения экстремумов полиномиальной функции необходимо решить уравнение , то есть вычислить нули её производной функции. Так как производная полиномиальной функции сама является полиномиальной функцией (более низкой степени), то для нахождения потенциальных точек экстремума применяются те же самые методы, что и для вычисления нулей самой функции. Из свойства о числе корней многочлена можно заключить, что полиномиальная функция степени теоретически может иметь до локальных экстремумов. Также легко видеть, что между двумя любыми нулями полиномиальной функции обязательно располагается как минимум один локальный экстремум.
Так как любая полиномиальная функция непрерывна и дважды дифференцируема в каждой точке , то для проверки существования локального максимума и локального минимума полиномиальной функции достаточно убедиться, что найденное значение (нуль производной функции) удовлетворяет одному из достаточных критериев.
Критерий по второй производной:
- Если и , то является точкой локального максимума.
- Если и , то является точкой локального минимума.
- Если и , то о точке нельзя сделать никакого вывода.
Критерий по первой производной:
- Если и меняет знак с «плюс» на «минус» при переходе через точку , то является точкой локального максимума.
- Если и меняет знак с «минус» на «плюс» при переходе через точку , то является точкой локального минимума.
- Если и не меняет знака при переходе через точку , то не является точкой локального минимума («седловая точка»).
Необходимым условием для существования точки перегиба функции в точке (то есть точки, в которой меняется выпуклость графика функции) является нулевое значение второй производной в ней. Таким образом, для нахождения точек перегиба полиномиальной функции необходимо решить уравнение . Из свойства о числе корней многочлена можно заключить, что полиномиальная функция степени может иметь до точек перегиба.
Ввиду непрерывности и многократной дифференцируемости полиномиальной функции в каждой точке для проверки существования точек перегиба достаточно убедиться, что найденное значение (нуль второй производной) удовлетворяет одному из достаточных критериев.
Критерий по третьей производной:
- Если и , то точка является точкой перегиба.
- Если и , то о точке нельзя сделать никакого вывода.
Критерий по второй производной:
- Если и меняет знак при переходе через точку , то является точкой перегиба.
- Если и не меняет знак при переходе через точку , то не является точкой перегиба.
Например, для нахождения точек перегиба функции производятся следующие вычисления:
Так как при и , то в имеется точка перегиба.
В то же время функция не имеет точки перегиба в , несмотря на то, что выполняются условия:
Так как при , но , то необходимо использовать критерий по второй производной. Ввиду того, что функция может принимать только положительные значения, изменения знака не имеет места, поэтому функция не имеет точки перегиба в .
Для определения кратности нулей полиномиальной функции может быть использован тот факт, что любая полинимоальная функция является многократно дифференцируемой. Так, если — нуль кратности (но не кратности ) полиномиальной функции , то выполняются следующие условия:
Например, для функции справедливо: ; и . Так как , то является нулём функции . Далее выполняется: , и . Таким образом, является нулём кратности 3!
Кратность нулей можно увидеть из графика полинимиальной функции:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.