Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Фуксова модель — это представление гиперболической римановой поверхности R как факторповерхности верхней полуплоскости H по фуксовой группе. Любая гиперболическая риманова поверхность позволяет такое представление. Концепция названа именем Лазаря Фукса.
По теореме об униформизации любая риманова поверхность является эллиптической, параболической[англ.], либо гиперболической. Точнее, эта теорема утверждает, что риманова поверхность , которая не изоморфна либо римановой сфере (в эллиптическом случае), либо факторповерхности комплексной поверхности по дискретной подгруппе (в параболическом случае), должна быть факторповерхностью гиперболической плоскости по подгруппе , действующей вполне разрывно и свободно.
В модели Пуанкаре в верхней полуплоскости для гиперболической плоскости группа биголоморфных преобразований[англ.] является группой , действующей гомографией, а теорема об униформизации означает, что существует дискретная подгруппа без кручения , такая, что риманова поверхность изоморфна . Такая группа называется фуксовой группой, а изоморфизм называется фуксовой моделью для .
Пусть будет замкнутой гиперболической поверхностью и пусть будет фуксовой группой, такой, что является фуксовой моделью для . Пусть
Здесь — множество всех эффективных и дискретных представлений с топологией, порождённой точечной сходимостью (иногда называемой «алгебраической сходимостью»)[1]. В этом частном случае топология может быть наиболее просто определена следующим образом: группа является конечнопорождённой[англ.]*, так как она изоморфна фундаментальной группе . Пусть будет порождающим множеством, тогда любое определяется элементами и мы можем отождествить с подмножеством отображением . Тем самым мы задаём топологию подпространства.
Теорема Нильсена об изоморфизме (это не стандартная терминология и этот результат не связан напрямую с теоремой Дена — Нильсена) тогда утверждает следующее[2]:
Доказательство очень просто — выберем гомеоморфизм и поднимем его на гиперболическую плоскость. Взятие диффеоморфизма даёт квазиконформное отображение, поскольку компактно.
Это можно рассматривать как эквивалентность между двумя моделями для пространства Тейхмюллера [1] — множества дискретных эффективных представлений фундаментальной группы [3] в классы смежности и множества помеченных римановых поверхностей , где является квазиконформным гомеоморфизмом естественного отношения эквивлентности.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.