Уравнение Винера — Хопфа

Уравне́ние Ви́нера — Хо́пфа — линейное интегральное уравнение с разностным ядром на положительной полуоси:

${\displaystyle \beta \varphi (x)=\lambda \int _{0}^{\infty }K(x-s)\varphi (s)\,ds+f(x),}$

где ${\displaystyle \varphi (x)}$ — искомая функция; ${\displaystyle f(x)}$, ${\displaystyle K(x-s)}$ — известные функции, ${\displaystyle \lambda ,\beta }$ — параметры. При ${\displaystyle \beta =0}$ называется уравнением Винера-Хопфа 1-го рода, при ${\displaystyle \beta =1}$ называется уравнением Винера-Хопфа 2-го рода. Было получено Винером и Хопфом при решении задачи радиационного равновесия внутри звезд. Также используется в кибернетике, при решении задач выделения и фильтрации полезного сигнала из его смеси с шумом.

Метод решения

Для решения вводятся т. н. односторонние функции ${\displaystyle \varphi _{+}(x)}$ и ${\displaystyle f_{+}(x)}$, равные ${\displaystyle \varphi (x)}$ и ${\displaystyle f(x)}$ при x>0 и равные 0 при x<0 и функция ${\displaystyle \varphi _{-}(x)}$, равная 0 при x>0. При помощи односторонних функций уравнение записывается в виде: ${\displaystyle \beta \varphi _{+}(x)=\lambda \int _{-\infty }^{+\infty }K(x-s)\varphi _{+}(s)\,ds+f_{+}(x)+\varphi _{-}(x)}$. Таким образом, при помощи односторонних функций область определения уравнения продолжается на отрицательную полуось. Затем применяется прямое преобразование Фурье ${\displaystyle \varphi ^{\pm }(u)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi _{\pm }(x)e^{iux}dx}$. Для уравнения-образа ${\displaystyle \varphi ^{+}(u)={\frac {f^{+}+\varphi ^{-}}{\beta -\lambda K^{*}(u)}}}$ решается краевая задача Римана, т.е. определяются функции ${\displaystyle \varphi ^{-}}$ и ${\displaystyle \varphi ^{+}}$. Решение интегрального уравнения является обратным преобразованием Фурье функции ${\displaystyle \varphi ^{+}}$: ${\displaystyle \varphi (x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int _{-\infty }^{+\infty }\varphi ^{+}(u)e^{-iux}du}$.

Литература

1. Физическая энциклопедия. Т. 1. / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М. Сов. энциклопедия, 1988.
2. Гл. 6 «Творческие успехи и радости. 1927—1931 // Винер Н. Я-математик. — М.: Наука, 1964. В 48 51 (09) УДК 510 (092), 353 с. (с. 120—143).
3. Гл. 3 «Синтез линейных систем. Оптимальные системы», п. 3.3 «Оптимизация систем по критерию МСКО. Уравнения Винера — Хопфа» // Самойленко В. И., Пузырев В. А., Грубрин И. В. Техническая кибернетика: учеб. пособие. — М.: Изд-во МАИ, 1994. — 280 с. (с. 60-63). — ISBN 5-7035-0489-9.
4. Гл. 5 «Методы решения интегральных уравнений», п. 5.9-1 «Уравнение Винера — Хопфа второго рода» // Манжиров А. В., Полянин А. Д. Справочник по интегральным уравнениям. Методы решения. — М.: Факториал Пресс, 2000. — 384 с. — ISBN 5-88688-046-1;
5. Гл. 7 «Интегральные уравнения», п. 4 «Некоторые специальные классы уравнений», п.п 8 «Уравнение Фредгольма с разностным ядром на полуоси» // Мышкис А. Д. Математика для технических вузов: спец. курсы. — 2-е изд. — СПб.: Лань, 2002. — 640 с. — ISBN 5-8114-0395-X.
6. Гохберг И. Ц., Фельдман И. А. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения. — М.: Наука, 1971. — 352 с.