Теория операторов
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Теория операторов — раздел функционального анализа, который изучает свойства непрерывных линейных отображений между нормированными пространствами. Вообще говоря, оператор — это аналог самой обычной функции или матрицы в конечномерном пространстве. Но оператор может действовать и в бесконечномерных пространствах.
Отображение из векторного пространства
в векторное пространство
называется линейным оператором если
для любых
и
в
и любых скаляров
и
. Часто пишут
вместо
. Линейный оператор из нормированного пространства
в нормированное пространство
называется ограниченным если найдется положительное вещественное число
такое что
для всех
в
. Наименьшая константа
удовлетворяющая такому условию называется нормой оператора
и обозначается
. Нетрудно видеть, что линейный оператор между нормированными пространствами ограничен тогда и только тогда, когда он непрерывен. Под термином «оператор» в функциональном анализе обычно понимают ограниченный линейный оператор.
Множество всех (ограниченных линейных) операторов из нормированного пространства в нормированное пространство
обозначается
. В случае когда
пишут
вместо
. Если
— гильбертово пространство, то обычно пишут
вместо
. На
можно ввести структуру векторного пространства через
и
, где
,
, а
— произвольный скаляр. С введённой операторной нормой
превращается в нормированное пространство.
В частности, и
для любых
и произвольного скаляра
. Пространство
является банаховым тогда и только тогда когда
— банахово.
Пусть и
— нормированные пространства,
и
. Композиция
и
обозначается
и называется произведением операторов
и
. При этом
и
.
Если
— банахово пространство, то
, оснащённое произведением, является банаховой алгеброй.
В теории операторов можно выделить несколько основных разделов:
- Спектральная теория изучает спектр оператора.
- Классы операторов. В частности, компактные операторы, фредгольмовы операторы, изоморфизмы, изометрии, строго сингулярные операторы и т. п. Изучают также неограниченные операторы и частично определенные операторы, в частности замкнутые операторы.
- Операторы на специальных нормированных пространствах.
- На гильбертовых пространствах изучают самосопряжённые, нормальные, унитарные, положительные операторы и др.
- На функциональных пространствах: дифференциальные, псевдодифференциальные, интегральные, и псевдоинтегральные операторы; операторы умножения, подстановки, подстановки с весом и др.
- На банаховых решётках: положительные операторы, регулярные операторы и др.
- Совокупности операторов (то есть, подмножества
): операторные алгебры, операторные полугруппы и др.
- Теория инвариантных подпространств.