Теория (логика)

В логике теория — это множество формул некоторого языка.

Как правило, интерес представляют лишь теории, содержащие некоторый минимальный набор формул (аксиом) и замкнутые относительно некоторых правил вывода, специфических для языка.

Термин теория чаще всего употребляется в контексте логики первого порядка, хотя он используется также и для неклассических логик. В контексте модальной логики для аналогичного понятия используются термины модальная логика и нормальная модальная логика (см. статью модальная логика).

Теории логики первого порядка состоят из замкнутых формул.

С точки зрения теории моделей, теория объект чисто семантический, это некий инвариант модели или класс моделей. С другой стороны, аксиоматизация является компактным представленим теории с помощью различных синтаксических механизмов, таких как аксиомы и правила вывода.

Формулы, принадлежащие теории, называются её теоремами.

Полнота

Теория называется непротиворечивой, если она не совпадает со множеством всех формул.

Теория ${\displaystyle T}$ называется полной, если для любой формулы ${\displaystyle \varphi }$ либо ${\displaystyle \varphi \in T}$, либо ${\displaystyle \neg \varphi \in T}$.

Каждая модель первого порядка данной сигнатуры ${\displaystyle S}$ естественным образом порождает полную теорию:

${\displaystyle Th({\mathfrak {M}})=\{\varphi \in L(S)\mid {\mathfrak {M}}\models \varphi \}}$

(где ${\displaystyle L(S)}$ означает язык первого порядка для сигнатуры ${\displaystyle S}$).

Разрешимость

Теория называется разрешимой, если задача определения принадлежности данной формулы к этой теории является алгоритмичечски разрешимой.

Эквивалентное определение: теория называется разрешимой, если множество Гёделевых номеров формул теории является рекурсивным.

См. также

• Список теорий первого порядка
• Список нормальных модальных логик
• Теорема Гёделя о неполноте