Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Теоремы об изоморфизме в алгебре — ряд теорем, связывающих понятия фактора, гомоморфизма и вложенного объекта. Утверждением теорем является изоморфизм некоторой пары групп, колец, модулей, линейных пространств, алгебр Ли или прочих алгебраических структур (в зависимости от области применения). Обычно насчитывают три теоремы об изоморфизме, называемые Первой (также основная теорема о гомоморфизме), Второй и Третьей. Хотя подобные теоремы достаточно легко следуют из определения фактора и честь их открытия никому особо не приписывается, считается, что наиболее общие формулировки дала Эмми Нётер.
Пусть — гомоморфизм групп, тогда:
В частности, если гомоморфизм сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то группа изоморфна факторгруппе .
Пусть — группа, — подгруппа в , — нормальная подгруппа в , тогда:
Пусть — группа, и — нормальные подгруппы в такие, что , тогда:
В данной области понятие нормальной подгруппы заменяется на понятие идеала кольца.
Пусть гомоморфизм колец, тогда:
В частности, если гомоморфизм сюръективен (то есть является эпиморфизмом), то кольцо изоморфно факторкольцу .
Пусть — кольцо, — подкольцо в , — идеал в , тогда:
Пусть — кольцо, и — идеалы в такие, что , тогда:
Теоремы об изоморфизме абелевых групп и линейных пространств являются частным случаем теорем для модулей, которые и будут сформулированы. Для линейных пространств дополнительную информацию можно найти в статье «ядро линейного отображения».
Пусть — гомоморфизм модулей, тогда:
Пусть — модуль, и — подмодули в , тогда:
Пусть — модуль, и — подмодули в такие, что , тогда:
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.