Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Теорема Рэлея — утверждение в гидродинамике, согласно которому для плоскопараллельного течения для развития неустойчивости необходимым условием является наличие точки перегиба профиля течения. Теорема получена Рэлеем в приближении идеальной жидкости.
Основное утверждение теоремы очевидным образом противоречит экспериментальным фактам. В частности, в течении Пуазёйля реализуется параболический профиль скорости, не обладающий точками перегиба, однако неустойчивость такого течения также возможна.
Рассмотрение возмущений стационарного плоскопараллельного (в координатах ) течения вязкой жидкости в предположении, что они имеют вид , в линейном приближении приводит к уравнению Орра — Зоммерфельда. Пренебрежение вязкостью () даёт уравнение Рэлея:
где — амплитуда, комплексный инкремент и волновое число возмущения, соответственно; — профиль скорости плоскопараллельного течения; — оператор Лапласа для нормальных возмущений. По сравнению с исходным уравнением четвёртого порядка, здесь порядок задачи понизился до второго, что требует корректировки граничных условий. Для канала с твёрдыми стенками условие прилипания, очевидно, заменяется на условие непротекания:
Поделим уравнение на , домножим на комплексно-сопряженную амплитуду возмущения и проинтегрируем по ширине канала:
Преобразование левой части (с учётом граничных условий для уравнения Рэлея)
показывает, что она является знакоопределенным и вещественным выражением. Следовательно, справа мнимая часть выражения должна быть равна нулю. Выделим её:
Принимая во внимание , получим:
Здесь есть две возможности. Во-первых, , отвечающее нейтральным возмущениям. Однако, это никакой информации об устойчивости не несёт, поскольку амплитуда такого возмущения не изменяется со временем. Потому примем, что равен нулю интеграл. Однако, в подынтегральном выражении все величины, кроме , положительны. Для выполнения равенства требуется смена знака внутри канала, следовательно, существует как минимум одна точка перегиба, где .
Очевидно, теорема Рэлея справедлива далеко не всегда. В первую очередь, существенным может оказаться влияние вязкого слагаемого даже при больших числах Рейнольдса, ввиду большого значения четвёртой производной.
Тем не менее, утверждение теоремы является весьма общим. Экспериментальные и численные исследования показывают, что, хотя и в отсутствие точки перегиба неустойчивость возможна, абсолютно устойчивых течений с точками перегиба не обнаружено.
Для улучшения этой статьи желательно:
|
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.