Система корней

Эта статья — о системах корней в математике. О корневой системе растений см. корень.

Систе́ма корне́й (корнева́я систе́ма) в математике — конфигурация векторов в евклидовом пространстве, удовлетворяющая определённым геометрическим свойствам.

Эта концепция является фундаментальной в теории групп Ли и алгебр Ли. Диаграммы Коксетера — Дынкина, использующиеся при классификации систем корней, встречается в разделах математики, не связанных явно с группами Ли, например, в теории сингулярностей.

Определение

Пусть ${\displaystyle V}$ — конечномерное евклидово пространство с обычным скалярным произведением, обозначаемым ${\displaystyle (\cdot ,\;\cdot )}$. Система корней в ${\displaystyle V}$ — это конечное множество ${\displaystyle \Phi }$ ненулевых векторов (называемых корнями), которые удовлетворяют следующим свойствам.

Целостное условие для ${\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}$ заставляет ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ лежать на одной из вертикальных прямых. Комбинирование этого условия с целостным условием для ${\displaystyle \scriptstyle {\langle \alpha ,\;\beta \rangle }}$ сводит возможные углы между ${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$ и ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ не более чем к двум, для каждой из вертикальных прямых.

1. ${\displaystyle V}$ является линейной оболочкой системы корней.
2. Если два корня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$, ${\displaystyle \beta \in \Phi }$ являются коллинеарными векторами, то либо они совпадают, либо ${\displaystyle \beta =-\alpha .}$
3. Для каждого корня ${\displaystyle \alpha \in \Phi }$ множество ${\displaystyle \Phi }$ замкнуто относительно отражения в гиперплоскости, перпендикулярной ${\displaystyle \alpha .}$ То есть для любых двух корней ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ множество ${\displaystyle \Phi }$ содержит отражение ${\displaystyle \beta }$

   ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta -2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\alpha \in \Phi .}$

4. (Целостное условие). Если ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — корни в ${\displaystyle \Phi ,}$ то проекция ${\displaystyle \beta }$ на прямую, проходящую через ${\displaystyle \alpha ,}$ есть полуцелое, кратное ${\displaystyle \alpha .}$ То есть

   ${\displaystyle \langle \beta ,\;\alpha \rangle =2{\frac {(\alpha ,\;\beta )}{(\alpha ,\;\alpha )}}\in \mathbb {Z} .}$

Замечания

• С учётом свойства 3 целостное условие эквивалентно утверждению, что разность между ${\displaystyle \beta }$ и его отражением ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )}$ равна корню ${\displaystyle \alpha }$, умноженному на некоторое целое число.
• Оператор

  ${\displaystyle \langle \cdot ,\;\cdot \rangle \colon \Phi \times \Phi \to \mathbb {Z} }$,

определённый свойством 4, не является внутренним произведением. Он, вообще говоря, не симметричен и линеен только по первому аргументу.

Размерность ${\displaystyle V}$ называют рангом системы корней.

Классификация систем корней по схемам Дынкина

Примеры систем корней ранга 1 и ранга 2

Существует только одна система корней ранга 1. Она состоит из двух ненулевых векторов ${\displaystyle \{\alpha ,\;-\alpha \}.}$ Эта система называется ${\displaystyle A_{1}.}$

В ранге 2 существуют четыре возможных варианта ${\displaystyle \sigma _{\alpha }(\beta )=\beta +n\alpha ,}$ где ${\displaystyle n=0,\;1,\;2,\;3.}$

Система корней ранга 2

Система корней ${\displaystyle A_{1}\times A_{1}}$	Система корней ${\displaystyle A_{2}}$
Система корней ${\displaystyle B_{2}}$	Система корней ${\displaystyle G_{2}}$

См. также

• E8 (математика)

Ссылки

• Дынкин Е. Б. Структура полупростых алгебр Ли // Успехи математических наук. — 1947. — Т. 2, № 4(20). — С. 59–127.
• Дынкин Е. Б. Классификация простых групп Ли // Математический сборник. — 1946. — Т. 18(60), № 3. — С. 347–352.
• Хамфрис Дж. Введение в теорию алгебр Ли и их представлений / Перев. с англ. Б. Р. Френкина. — М.: МЦНМО, 2008. — 216 с.
• Винберг Э. Б., Онищик А. Л. Семинар по группам Ли и алгебраическим группам — М.: УРСС, 1995. — 344 с.
• Хамфри Дж. Линейные алгебраические группы / Пер. с англ./Под ред. В. П. Платонова. — М.: Наука, 1980. — 400 с.
• Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли (часть 2) / Пер. с франц./Под ред. А. И. Кострикина. — М.: Мир, 1972. — 332 с.