Проектор (математика)

У этого термина существуют и другие значения, см. Проектор.

В линейной алгебре и функциональном анализе линейный оператор ${\displaystyle P}$, действующий в линейном пространстве, называется прое́ктором (а также опера́тором проеци́рования и проекцио́нным опера́тором), если ${\displaystyle P^{2}=P}$. Такой оператор называют идемпотентным.

На этом рисунке преобразование ${\displaystyle P}$ является ортогональной проекцией на прямую ${\displaystyle m}$.

Несмотря на свою абстрактность, это определение обобщает идею построения геометрической проекции.

В качестве определения можно использовать следующее свойство проектора: линейный оператор ${\displaystyle P:X\to X}$ является проектором тогда и только тогда, когда существуют такие подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$, что ${\displaystyle X}$ раскладывается в их прямую сумму, и при этом для любой пары элементов ${\displaystyle u\in U,\ v\in V}$ имеем ${\displaystyle P(u+v)=u}$. Подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ — соответственно образ и ядро проектора ${\displaystyle P}$, и обозначаются ${\displaystyle \mathrm {Im} P}$ и ${\displaystyle \mathrm {Ker} P}$.

В общем случае, разложение линейного пространства в прямую сумму не единственно. Поэтому, для подпространства ${\displaystyle V}$ пространства ${\displaystyle X}$, вообще говоря, существует много проекторов, образ или ядро которых совпадает с ${\displaystyle V}$.

Свойства проекционных операторов

• Пусть ${\displaystyle I}$ — тождественный оператор. Если ${\displaystyle P}$ — проектор, то ${\displaystyle I-P}$ тоже проектор, причём ${\displaystyle \mathrm {Ker} {(I-P)}=\mathrm {Im} {P}}$ и ${\displaystyle \mathrm {Im} {(I-P)}=\mathrm {Ker} P}$.
• В конечномерном нормированном пространстве все проекционные операторы непрерывны.
• Для банахова же пространства проекционный оператор будет непрерывным, если его образ замкнут, при этом ядро проектора тоже окажется замкнутым. Таким образом, непрерывный проектор задаёт разложение пространства в прямую сумму замкнутых подпространств: ${\displaystyle X=\mathrm {Ker} P\oplus \mathrm {Im} \,P}$.
• Собственными значениями проектора могут быть только 0 и 1. Соответствующими собственными подпространствами проектора будут его ядро и образ.

Комбинации проекторов

Пусть ${\displaystyle P_{1}}$ и ${\displaystyle P_{2}}$ — проекторы, заданные на векторном пространстве ${\displaystyle X}$, и проецирующие на подпространства ${\displaystyle M_{1}}$ и ${\displaystyle M_{2}}$ соответственно. Тогда

• ${\displaystyle P_{1}+P_{2}}$ — проектор на подпространстве ${\displaystyle M_{1}\oplus M_{2}}$, в том и только том случае, когда ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=0}$.
• ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ является проектором тогда и только тогда, когда ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P_{2}}$. ${\displaystyle P_{1}-P_{2}}$ проецирует на подпространство ${\displaystyle M_{1}\cap (X\ominus M_{2})}$.
• Если ${\displaystyle P_{1}P_{2}=P_{2}P_{1}=P}$, то ${\displaystyle P}$ — проектор на подпространство ${\displaystyle M_{1}\cap M_{2}}$.

Примеры

• Ортогональная проекция (см. ниже) точек ${\displaystyle (x,y,z)}$ пространства ${\displaystyle R^{3}}$ на плоскость ${\displaystyle Oxy}$ задаётся матрицей

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.}$

Действует на точки она следующим образом:

${\displaystyle P{\begin{pmatrix}x\\y\\z\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}x\\y\\0\end{pmatrix}}}$

Преобразование T является косоугольной проекцией вдоль k на прямую m. U=m и V=k.

• Простейший неортогональный проектор осуществляет косоугольную проекцию точек плоскости на прямую. Он задаётся матрицей:

${\displaystyle P={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}.}$

Легко показать, что это действительно проектор:

${\displaystyle P^{2}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}0&0\\\alpha &1\end{bmatrix}}=P.}$

Проекция, задаваемая ${\displaystyle P}$, ортогональна, тогда и только тогда, когда ${\displaystyle \alpha =0}$.

Ортогональный проектор

Если пространство ${\displaystyle X}$ — гильбертово, то есть обладает скалярным произведением (а значит и понятием ортогональности), то можно ввести понятие ортогонального проектора.

Ортогональный проектор — это частный случай проектора, когда выше упомянутые подпространства ${\displaystyle U}$ и ${\displaystyle V}$ ортогональны друг другу, иными словами, когда ${\displaystyle \forall u\in U,\forall v\in V}$ ${\displaystyle (u,v)=0}$, или ${\displaystyle u\cdot v=0}$, или ${\displaystyle u\perp v=0}$. В этом случае проекция элемента ${\displaystyle x\in X}$ является ближайшим к нему элементом пространства ${\displaystyle U}$.

Литература

• Треногин В. А. Функциональный анализ. — М.: Наука, 1980. — 495 с.
• Халмош П. Конечномерные векторные пространства = Finite-dimensional vector spaces. — М.: Физматгиз, 1963. — 264 с.