Ортогональная система координат

Ортогональными называются криволинейные координаты, в которых метрический тензор имеет диагональный вид.

${\displaystyle ds^{2}=\sum _{k=1}^{n}\left(h_{k}dq^{k}\right)^{2}}$,

где ${\displaystyle n}$ - размерность пространства. Скалярный фактор

${\displaystyle h_{k}(\mathbf {q} )\ {\stackrel {\mathrm {def} }{=}}\ {\sqrt {g_{kk}(\mathbf {q} )}}=|\mathbf {e} _{k}|}$

равен корню квадратному от диагональных компонент метрического тензора, или длине локального базисного вектора ${\displaystyle \mathbf {e} _{k}}$.

В ортогональных системах координат ${\displaystyle \mathbf {q} =(q^{1},q^{1},\ldots ,q^{n})}$ координатные поверхности ортогональны друг другу. В частности, в декартовой системе координат ортогональны друг другу координатные оси ${\displaystyle Ox}$, ${\displaystyle Oy}$ и ${\displaystyle Oz}$.

Выбор той или иной системы ортогональных координат определяется симметрией системы. Например, при решении задачи о распространении электромагнитной волны от точечного источника выгодно пользоваться сферической системой координат; при решении задачи о колебании мембраны предпочтительней цилиндрическая система координат.

Математические преобразования

Базисные векторы

В ортогональных системах скалярное произведение базисных векторов равно:

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\left\{{\begin{matrix}0,&i\neq j{;}\\\vert \mathbf {e} _{i}\vert ^{2},&i=j{.}\end{matrix}}\right.}$

В большинстве случаев используют нормированные базисные векторы, для которых ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}^{\left(n\right)}={\frac {\mathbf {e} _{i}}{\left|\mathbf {e} _{i}\right|}}}$.

Для нормированных базисных векторов ${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{ij}}$, где ${\displaystyle \delta _{ij}}$ — символ Кронекера.

Скалярное произведение

Скалярное произведение векторов в ортогональных системах вычисляется по формуле:

${\displaystyle \mathbf {x} \cdot \mathbf {y} =\sum _{k=1}^{n}h_{k}^{2}x^{k}y^{k}=\sum _{k=1}^{n}{\frac {x_{k}y_{k}}{h_{k}^{2}}}=\sum _{k=1}^{n}x^{k}y_{k}=\sum _{k=1}^{n}x_{k}y^{k}}$.