Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Но́рма — отображение элементов конечного расширения E поля K в исходное поле K, определяемое следующим образом:
Пусть E — конечное расширение поля K степени n, — какой-нибудь элемент поля E. Поскольку E является векторным пространством над K, данный элемент определяет линейное преобразование . Этому преобразованию в некотором базисе можно сопоставить матрицу. Определитель этой матрицы называется нормой элемента α. Так как в другом базисе отображению будет соответствовать подобная матрица с тем же определителем, норма не зависит от выбранного базиса, то есть элементу расширения можно однозначно сопоставить его норму. Она обозначается или просто , если понятно, о каком расширении идет речь.
Пусть σ1, σ2 … σm — все автоморфизмы E, сохраняющие неподвижными элементы поля K. Если E — расширение Галуа, то m равно степени [E:К] = n. Тогда для нормы существует следующее выражение:
Если E несепарабельно, то m≠n, однако n кратно m, причём частное является некоторой степенью характеристики p.
Тогда
Пусть R — поле вещественных чисел, C — поле комплексных чисел, рассматриваемое как расширение R. Тогда в базисе умножению на соответствует матрица
Определитель этой матрицы равен , то есть квадрату обычного модуля комплексного числа. Заметим, что обычно эту норму определяют как и это хорошо согласуется с тем, что комплексное сопряжение является нетривиальным автоморфизмом поля комплексных чисел.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.