Несчётное множество
бесконечное множество, с мощностью больше, чем у натуральных чисел / Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Несчётное мно́жество — бесконечное множество, не являющееся счётным.
Некоторые эквивалентные определения несчётности для множества :
- не существует инъективного отображения
во множество натуральных чисел
;
не пустое, и для каждой нумерованной последовательности элементов
существует по крайней мере один элемент
, не входящий в неё;
- иными словами:
непусто, и не существует сюръективного отображения множества натуральных чисел
на
;
- иными словами:
- мощность
не является ни конечной, ни равной
.
Данные определения являются эквивалентными в системе Цермело — Френкеля без использования аксиомы выбора. Доказательство эквивалентности данных определений со следующим:
- мощность
строго превышает
— требует привлечения аксиомы выбора.
Надмножество несчётного множества несчётно. Простейший пример несчётного множества — континуум, вопрос о существовании несчётных множеств с мощностью менее мощности континуума составляет содержание континуум-гипотезы.