Одночлен

Одночле́н (устаревшее: моно́м) — алгебраическое выражение, состоящее из произведения числового множителя (коэффициента) на одну или нескольких переменных, взятых каждая в натуральной степени. Степенью одночлена называется сумма показателей степеней всех входящих в него переменных^[1]. Одночленом также считается отдельное число (без буквенных множителей), его степень равняется нулю, за исключением случая нулевого одночлена, степень которого не определена^[2] (часть источников приписывает нулевому одночлену степень ${\displaystyle -\infty }$)^[3].

Примеры:

${\displaystyle -7}$	${\displaystyle x^{2}}$	${\displaystyle c^{3}xy}$	${\displaystyle -a}$	${\displaystyle 5ax^{3}}$

Если числовой коэффициент одночлена не задан (например, в одночлене ${\displaystyle x^{2}}$), подразумевается коэффициент ${\displaystyle 1}$ или ${\displaystyle -1}$, в зависимости от знака перед одночленом^[2].

Не являются одночленами выражения: ${\displaystyle a+b;\ {\frac {a-b}{c}}.}$

История

Первым ввёл понятие одночленов ${\displaystyle x,x^{2},x^{3},...}$ и ${\displaystyle 1/x,1/x^{2},1/x^{3},...}$, а также дал правила их произведения, аббасидский математик аль-Караджи (953—1029). Его достижение заключалось в том, что он определил произведение этих членов без ссылок на геометрию^[4]. Его последователь Самуил Марокканский (1130—1180) ввёл определения ${\displaystyle x^{0}=1}$ и ${\displaystyle x^{-n}=1/x^{n}}$, а также описал их арифметику, включая правило умножения одночленов ${\displaystyle x^{n}x^{m}=x^{n+m}}$ для целых ${\displaystyle n}$ и ${\displaystyle m}$^[5].

Свойства

Произведение одночленов также является одночленом. При этом перемножаются коэффициенты и складываются показатели степеней для одинаково обозначенных переменных^[1].

Пример: ${\displaystyle 3ab\cdot (2{,}5a^{3}c)=7{,}5a^{4}bc.}$

Возведение одночлена в натуральную степень также даёт одночлен.

Одночлены называются подобными, если они отличаются только коэффициентом (или вовсе не отличаются), а переменные и их степени полностью совпадают. При сложении или вычитании подобных одночленов получается одночлен, подобный исходным; его коэффициенты получаются соответственно сложением или вычитанием коэффициентов исходных одночленов^[1].

Одночлен является частным случаем многочлена, не содержащим операции сложения. Сложение одночленов, не являющихся подобными, даёт многочлен; более того, многочлен можно именно так определить. Степень многочлена — это максимальная из степеней входящих в него одночленов.

Вариации и обобщения

В некоторых источниках рассматриваются одночлены, содержащие отрицательные степени переменных; они полезны, например, в теории рядов Лорана. Аналогично в теории рядов Пюизё естественно рассматривать одночлены с рациональными степенями.

Коэффициенты одночлена могут быть не только числами, но и элементами произвольного коммутативного кольца. Множество одночленов над заданным кольцом образует коммутативную полугруппу с единицей, операции над одночленами выполняются аналогично числовым одночленам^[6].

См. также

• Многочлен

Примечания

1. Гусев, Мордкович, 2013, с. 86—88.
2. Одночлен — статья из Большой советской энциклопедии. 
3. Ленг, 1968.
4. al-Karaji - Biography (англ.). Maths History. Дата обращения: 15 сентября 2024.
5. Al-Samaw’al, Ibn Yah?ya Al-Maghribi | Encyclopedia.com  (неопр.). www.encyclopedia.com. — «Al-Samaw‘al further applied the rules of subtraction to the multiplication and division of the powers of x, which he placed in a single line of both sides of the number 1, to which he assigned the rank zero. The other powers and other constants are displayed on each side of zero, in ascending order:
   The rules of multiplication and division that al-Samaw‘al enunciated are, except for their notation, those still in use.» Дата обращения: 16 сентября 2024.
6. Одночлен. // Математическая энциклопедия (в 5 томах). — М.: Советская Энциклопедия, 1982. — Т. 3. — С. 1184. — 1184 с.

Литература

• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика: учебно-справочное пособие. — М.: Астрель, 2013. — 671 с. — (Справочник школьника). — ISBN 978-5-271-07165-2.
• Ленг С. Алгебра. — М.: Мир, 1968. — С. 138—139. — 564 с.

Ссылки

• Monomial Архивная копия от 19 октября 2021 на Wayback Machine. Encyclopedia of Mathematics.