Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Многообразие Шимуры (иногда многообразие Симуры) — аналог модулярной кривой в более высоких размерностях, который возникает как фактор эрмитова симметрического пространства[англ.] по конгруэнтной подгруппе редуктивной алгебраической группе, определённой над Q. Термин «многообразие Шимуры» относится к высоким размерностям, в случае одномерных многообразий говорят о кривых Шимуры. Модулярные поверхности Гильберта[англ.] и модулярные многообразия Зигеля[англ.] находятся среди лучших известных классов многообразий Шимуры.
Специальные случаи многообразий Шимуры ввёл Горо Шимура в ходе обобщения теории комплексного умножения[англ.] (модулярных кривых). Шимура показал, что первоначально определённые аналитически, объекты являются арифметическими в том смысле, что они удовлетворяют моделям, определенным[англ.] над числовым полем, полем отражения многообразия Шимуры. В 1970-х годах Пьер Делинь создал аксиоматическую схему для работы Шимуры. Примерно в то же время Роберт Ленглендс заметил, что многообразия Шимуры образуют естественную область примеров, для которых эквивалентность между мотивными[англ.] и автоморфными L-функциями[англ.], постулированная в программе Ленглендса, может быть проверена. Автоморфные формы, реализованные в когомологии многообразия Шимуры, более поддаются изучению, чем общие автоморфные формы. В частности, существует построение, присоединяющее к ним представления Галуа[англ.].
Пусть S = ResC/R Gm — ограничение Вейля мультипликативной группы из комплексных чисел в вещественные числа. Оно является алгебраической группой, группа R-точек которой S(R) — C*, а группа C-точек — . Исходные данные Шимуры — это пара (G, X), состоящая из редуктивной алгебраической группы G, определённой над полем Q рациональных чисел, и G(R)-класса сопряжённости X гомоморфизмов h: , удовлетворяющего следующим аксиомам:
Из этих аксиом следует, что X имеет единственную структуру комплексного многообразия (возможно, несвязную), такую, что для любого представления , семейство является голоморфным семейством структур Ходжа. Более того, оно образует вариацию структуры Ходжа и X является конечным объединением (непересекающихся) эрмитово-симметрических областей[англ.].
Пусть Aƒ — кольцо аделей[англ.] группы Q. Для любой достаточно малой компактной открытой подгруппы K группы G(Aƒ) двойной смежный класс[англ.]
является конечным объединением локально симметрических многообразий формы , где верхний индекс плюс обозначает связную компоненту. Многообразия являются комплексными алгебраическими многообразиями и они образуют инверсивную систему[англ.] над всеми достаточно маленькими компактными открытыми подгруппами K. Эта инверсивная система
подчиняется естественному правому действию . Она также называется многообразием Шимуры, ассоциированным с исходными данными Шимуры (G, X) и обозначается Sh(G, X).
Для специальных типов эрмитово-симметрических областей и конгруэнтных подгрупп Γ алгебраическое многообразие вида и его компактификация[англ.] были введены в серии статей Горо Шимуры в течение 1960-х годов. Подход Шимуры, позднее представленный в его монографиях, был в большой степени феноменологическим и преследовал цель широкого обобщения формулировки закона взаимности теории комплексного умножения[англ.] (модулярных кривых). Ретроспективно, название «многообразие Шимуры» ввёл Делинь, который пробовал изолировать абстрактные свойства, играющие роль в теории Шимуры. В формулировке Делиня многообразия Шимуры — это область параметров структур Ходжа некоторого типа. Тогда они образуют естественное обобщение модулярных кривых более высокой размерности, которые рассматриваются как пространства модулей эллиптических кривых с уровневой структурой.
Пусть F — полностью вещественное числовое поле и D — кватернионная алгебра с делением над F. Мультипликативная группа D× порождает каноническое многообразие Шимуры. Его размерность d является числом бесконечных мест, на которые D расщепляется. В частности, если d = 1 (например, если F = Q и ), фиксируя достаточно малую арифметическую подгруппу группы D×, получаем кривую Шимуры и кривые, возникающие из этого построения, уже компактны (то есть проективные[англ.]).
Некоторые примеры кривых с известными уравнениями, заданные поверхностями Гурвица низкого рода:
и кривой Ферма степени 7[1].
Другие примеры многообразий Шимуры включают модулярные поверхности Пикара[англ.] и многообразия Гильберта — Блюменталя[англ.].
Любое многообразие Шимуры можно определить над каноническим числовым полем E называется полем отражений. Этот важный результат, принадлежащий Шимуре, показывает, что многообразия Шимуры, которые априори являются лишь комплексными многообразиями, имеют алгебраическое поле определения[англ.] и, поэтому, имеют арифметическое значение. Это образует стартовую точку в формулировке закона взаимности, в котором важную роль играют некоторые арифметически определённые специальные точки.
Качественная природа замыкания Зарисского множеств точек на многообразии Шимуры описывается гипотезой Андре — Оорта. Условные результаты могут быть получены из этой гипотезы, исходя из обобщённой гипотезы Римана.
Многообразия Шимуры играют выдающуюся роль в программе Ленглендса. Из отношения конгруэнтности Эйхлера — Шимуры[англ.] следует, что дзета-функция Хассе — Вейля модулярной кривой является произведением L-функций, ассоциированных с явно определёнными модулярными формами веса 2. На самом деле, Горо Шимура ввёл свои многообразия и доказал свой закон взаимности в процессе обобщения этой теоремы. Дзета-функции многообразий Шимуры, ассоциированных с группой GL2 над другими числовыми полями и их внутренние формы (то есть мудьтипликативные группы алгебр кватернионов) изучали Эйхлер, Шимура, Куга, Сато и Ихара. На основе их результатов Роберт Ленглендс высказал прогноз, что дзета-функция Вейля любого алгебраического многообразия W, определённого над числовым полем должна быть произведением положительных и отрицательных степеней автоморфных L-функций, то есть должна возникать из набора автоморфных представлений[англ.]*. Однако утверждения такого типа могут быть доказаны, если W является многообразием Шимуры. По словам Ленглендса:
Утверждение, что все L-функции, ассоциированные с многообразиями Шимуры, а тогда и с любым мотивом, определённым многообразием Шимуры, можно выразить в терминах автоморфных L-функций [его статьи 1970-го года], слабее, даже очень слабее, утверждения, что все мотивные L-функции равны таким L-функциям. Тем не менее, хотя ожидается, что более строгое утверждение верно, не существует, насколько я знаю, веских причин ожидать, что все мотивные L-функции будут прикреплены к многообразиям Шимуры.
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.