Гладкая функция
Материал из Википедии — свободной encyclopedia
Гладкая функция порядка 0 — непрерывная функция.
Гладкая функция порядка 1 — непрерывно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая непрерывную производную.
Гладкая функция порядка — дифференцируемая
раз функция, плюс к этому
-я производная является непрерывной.
Гладкая функция порядка — бесконечно-дифференцируемая функция, то есть функция, имеющая производные всех порядков.
Гладкая функция порядка или
— вещественно-аналитическая функция, то есть функция, разложимая в степенной ряд окрестности точки (в окрестности каждой точки, если рассматривается гладкость на множестве).
Без уточнения порядка под гладкой функцией обычно понимают либо непрерывно-дифференцируемую функцию, либо бесконечно-дифференцируемую функцию, в зависимости от конкретного автора. Также довольно часто в конкретном месте под гладкой функцией понимают гладкую функцию порядка достаточного для того, чтобы имели смысл все действия, выполняемые над функцией по ходу текущего рассуждения.
Гладкость может быть определена как в одной точке, так и на всей области определения. Множество гладких функций порядка на множестве
обозначается как
и называется классом гладкости. Классы гладкости упорядочены по включению следующим образом:
; таким образом, гладкая функция порядка
является гладкой и всех порядков меньших
. Гладкие функции порядка
также называют
-гладкими функциями.