Мультивектор — элемент внешней алгебры, представляющий собой сумму поливекторов (векторов, бивекторов, тривекторов и т. д.).
Любой поливектор (k-вектор) можно представить как сумму k-лезвий (простых k-векторов), где каждое k-лезвие в свою очередь разложимо на внешнее произведение векторов количеством k штук.
2-лезвие может быть геометрически представлено как ориентированная плоскость в пространстве любой размерности и может использоваться для представления вращения в нём.
n-вектор в пространстве размерности n называется псевдоскаляром, тогда как (n-1)-вектор называется псевдовектором. Так псевдовектором трёхмерного пространства является любой бивектор.
Сумма 1-вектора и скаляра также известна как паравектор.
k-вектор дуален к k-форме.
Свойства:
- Любая линейно независимая система векторов
из
определяет ненулевой k-вектор;
- Линейно независимые системы
и
порождают одно и то же подпространство в
в том и только в том случае, когда
;
- Для любого ненулевого поливектора
его аннулятор
есть подпространство размерности
, причём поливектор
разложим тогда и только тогда, когда
;
- Разложимые k-векторы n-мерного пространства V образуют коническое алгебраическое многообразие в
соответствующее проективное алгебраическое многообразие есть многообразие Грассмана;
- Любой ненулевой n-вектор или (n − 1)-вектор в n-мерном пространстве разложим;
- Бивектор
разложим тогда и только тогда, когда
;
- Если фиксировать ненулевой
-вектор
, то возникает естественный изоморфизм:
- :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{n-k}(V)}
![{\displaystyle \pi :\bigwedge \nolimits ^{k}(V)\to \bigwedge \nolimits ^{n-k}(V)}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/22330efe07d08d9dbf8a4ad1a1307d4f2df666b2)
- такой, что
для всех
.