Эрдёш, Пал

В Википедии есть статьи о других людях с такой фамилией, см. Эрдёш.

Пал Э́рдёш^[13] (венг. Erdős Pál; 26 марта 1913, Будапешт — 20 сентября 1996, Варшава) — венгерский математик, один из наиболее продуктивных математиков XX века. Работал в самых разных областях современной математики: комбинаторика, теория графов, теория чисел, математический анализ, теория приближений, теория множеств и теория вероятностей. Лауреат множества математических наград, включая премию Вольфа (1983/1984). Основатель премии Эрдёша.

Пал Эрдёш
венг. Erdős Pál
Дата рождения	26 марта 1913(1913-03-26)[1][2][…]
Место рождения	Будапешт, Австро-Венгерская империя
Дата смерти	20 сентября 1996(1996-09-20)[1][3][…] (83 года)
Место смерти	Варшава, Польша[4][5][…]
Страна	Венгрия[6][7]
Род деятельности	математик
Научная сфера	математик
Место работы	Институт перспективных исследований[8] Манчестерский университет Виктории[вд][9] Университет Пердью[10] Университет Нотр-Дам[11] Технион[11]
Альма-матер	Будапештский университет
Учёная степень	доктор[12]
Научный руководитель	Липот Фейер
Ученики	Джордж Перди[вд], Александр Сойфер[вд] и Теренс Тао
Награды и премии	Премия Вольфа по математике (1983/84)
Цитаты в Викицитатнике
Медиафайлы на Викискладе

Количество написанных им научных статей, как и число соавторов этих статей, не имеет аналогов среди современных ему математиков (более 1400)^[14].

Биография

Родился в Будапеште (тогда Австро-Венгерская империя) и был старшим ребёнком в образованной еврейской семье. Его родители получили математическое образование и работали учителями. Мать — Анна (Йоханна) Вильгельм (1880—1971), родом из Поважска-Бистрицы, — некоторое время была директором школы (1919—1920), отец — Лайош Эрдёш (до политики мадьяризации имён — Энгландер, 1879—1942) — был призван в действующую армию в годы Первой мировой войны, попал в плен на русском фронте и провёл несколько лет в плену в Сибири^[15].

Ещё в раннем детстве проявил выдающиеся математические способности, в четырёхлетнем возрасте перемножая в уме четырёхзначные числа. В школьные годы неоднократно выигрывал математические олимпиады. В 1930 году поступил в Будапештский университет. В возрасте 19 лет нашёл альтернативное доказательство постулата Бертрана, гораздо более простое, чем ранее известные. Спустя 4 года после поступления в университет не только досрочно окончил обучение, но и защитил диссертацию. В Венгрии, как и в соседней Германии, набирал силу антисемитизм, поэтому в 1934 году принял приглашение переехать в Великобританию и занять должность в Манчестерском университете^[16].

В 1938 году уехал в США, около года работал в принстонском Институте перспективных исследований, затем перешёл в Пенсильванский университет. Не получил американского гражданства, но с началом маккартизма заслужил репутацию политически подозрительной личности; в результате после Международного конгресса математиков в Амстердаме (1954 год) ему запретили въезд в США. Эрдёш перешёл в израильский Технион, где провёл более десяти лет^[17].

В дальнейшем проводил жизнь в постоянных путешествиях по миру. Неутомимо работал до последнего дня. По отзывам друзей, учёный злоупотреблял крепким кофе и амфетаминами. Умер от сердечного приступа во время конференции в Польше, в кармане у него был билет на самолёт до Вильнюса, где должна была состояться его следующая конференция. Похоронен вместе с отцом и сестрой в Будапеште на Еврейском кладбище на улице Козма^{[англ.][18]}.

Член Венгерской академии наук и Нидерландской королевской академии наук, Американской академии искусств и наук (1974), иностранный член НАН США (1980) и Лондонского королевского общества (1989). Подписал «Предупреждение учёных человечеству» (1992)^[19].

Особенности характера

Начиная с конца 1930-х годов и до самой смерти стиль жизни Эрдёша можно охарактеризовать как «странствующий математик»: он путешествовал между научными конференциями и домами коллег по всему миру, появлялся на пороге со словами «мой мозг открыт» и оставался на время, необходимое для совместной подготовки нескольких статей, чтобы уехать дальше ещё через несколько дней. Щедро делился с окружающими своими математическими идеями и сам легко откликался на чужие идеи. Большинство статей написал с соавторами, общее количество которых было около пяти сотен. Традиционно в математике совместная статья является скорее исключением, чем правилом, в связи с чем этот феномен породил шуточный наукометрический показатель «число Эрдёша» (длина кратчайшего пути от автора до Эрдёша по совместным публикациям).

До конца жизни говорил по-английски с сильным венгерским акцентом до такой степени, что в любой части света венгры безошибочно определяли соотечественника, даже издалека услышав его английскую речь^[20].

На вопрос журналиста, не слишком ли он пессимистичен, Эрдёш ответил, что в нашей судьбе пессимистично только одно: «Человек живёт недолго и надолго умирает»^[21].

Вклад

Ниже указаны лишь некоторые результаты Эрдёша.

Теория чисел

• Доказал, что существует такое число ${\displaystyle c<1}$, что для бесконечно многих простых чисел ${\displaystyle p}$ выполняется неравенство ${\displaystyle p'-p<c\log p}$, где ${\displaystyle p'}$— следующее простое число.
• Доказал, что для любой константы ${\displaystyle c>0}$ существует бесконечно много простых чисел ${\displaystyle p}$, таких что

${\displaystyle p'-p>c{\frac {\log p\log \log p}{(\log \log \log p)^{2}}}}$.

• Получил (параллельно с А. Сельбергом и независимо от него) первое элементарное доказательство асимптотического закона распределения простых чисел.
• Дал краткое доказательство расходимости ряда ${\displaystyle \sum \limits _{p}{\frac {1}{p}}}$ (с суммированием по всем простым) элементарными методами^[22].

Доказательство

Пусть ряд сходится. Тогда для некоторого ${\displaystyle k}$ выполнено ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\frac {1}{p}}<{\frac {1}{2}}}$.

Пусть зафиксировано некоторое произвольное ${\displaystyle N}$. Разобьём все числа меньшие ${\displaystyle N}$ на два класса - те, которые имеют простой делитель ${\displaystyle p\geq k}$ и те, у которых все простые делители меньше ${\displaystyle k}$.

Количество чисел в первом классе ограничено сверху величиной ${\displaystyle \sum \limits _{p\geq k}{\left\lfloor {\frac {N}{p}}\right\rfloor }\leq \sum \limits _{p\geq k}{\frac {N}{p}}<{\frac {N}{2}}}$.

Каждое число из второго класса представимо в виде ${\displaystyle a{b^{2}}}$, где ${\displaystyle a}$ свободно от квадратов, то есть является произведением какого-то набора простых чисел меньших ${\displaystyle k}$. Кроме того, очевидно, ${\displaystyle b\leq {\sqrt {N}}}$. Значит, таких чисел существует не более чем ${\displaystyle {2^{k}}{\sqrt {N}}}$.

Рассмотрев это рассуждение для числа ${\displaystyle N>2^{2k+2}}$ можно получить, что общее количество чисел меньших ${\displaystyle N}$ будет ${\displaystyle {\frac {N}{2}}+{2^{k}}{\sqrt {N}}<{\frac {N}{2}}+{\frac {N}{2}}=N}$, что приводит к противоречию, так как каждое число меньше ${\displaystyle N}$, очевидно, принадлежит ровно к одному классу.

• Доказал, что для ${\displaystyle 4\leq k<n}$ и ${\displaystyle l\geq 2}$ уравнение ${\displaystyle C_{n}^{k}=m^{l}}$ не имеет решений в целых числах.
• В арифметической комбинаторике получил первые результаты по теореме сумм-произведений^[23], а в аддитивной комбинаторике впервые поставил вопросы, касающиеся множества разностей выпуклых множеств^[24].

Комбинаторика

• Вероятностный метод

• Вместе с Дьёрдем Секерешем для диагональных чисел Рамсея доказал неравенство

${\displaystyle (1+o(1)){\frac {s2^{s/2}}{{\sqrt {2}}e}}\leq R(s,s)\leq (1+o(1)){\frac {4^{s-1}}{\sqrt {\pi s}}}.}$.

• Теорема Эрдёша — Радо — обобщение теоремы Рамсея на бесконечные множества.

• Теорема Эрдёша — Секереша: всякая последовательность различных вещественных чисел длины ${\displaystyle (a-1)(b-1)+1}$ содержит возрастающую подпоследовательность длины ${\displaystyle a}$ или убывающую длины ${\displaystyle b}$.

Геометрия

• Теорема де Брёйна — Эрдёша — проективный аналог теоремы Сильвестра.
• Теорема Эрдёша — Эннинга — утверждение о том, что бесконечное множество точек на плоскости может иметь целые расстояния между точками множества лишь когда все точки лежат на одной прямой.
• Теорема Эрдёша — Сёкефальви-Надя — утверждение о том, что многоугольник без самопересечений может быть преобразован в выпуклый многоугольник посредством конечного числа зеркальных отражений компонент связности выпуклой оболочки («карманов»).

Награды

• 1945 — Стипендия Гуггенхайма^[25]
• 1946 — Стипендия Гуггенхайма
• 1951 — Премия Коула по теории чисел
• 1957 — Премия имени Кошута
• 1983 — Государственная премия Венгрии^[венг.]
• 1983/84 — Премия Вольфа по математике
• 1991 — Золотая медаль Венгерской академии наук^[венг.]

См. также

• Список математических утверждений и объектов, названных в честь Эрдёша

Примечания

1. Архив по истории математики Мактьютор — 1994.
2. P. Erdös // KNAW Past Members (англ.)
3. Paul Erdös // Музей Соломона Гуггенхайма — 1937.
4. http://link.springer.com/chapter/10.1007%2F978-3-642-39286-3_25
5. http://www.vigyanprasar.gov.in/dream/oct2006/English.pdf
6. http://www.nytimes.com/2007/08/17/nyregion/17selberg.html?ref=nyregion
7. http://www.bbc.co.uk/news/magazine-24045598
8. https://www.ias.edu/scholars/paul-erd%C3%B6s
9. https://books.google.cat/books?id=FnrnCAAAQBAJ&pg=PA5
10. http://www.ams.org/notices/199801/comm-erdos.pdf — С. 69.
11. http://www.ams.org/notices/199801/comm-erdos.pdf — С. 70.
12. Mathematics Genealogy Project (англ.) — 1997.
13. встречаются варианты написания Пауль Эрдёш, Пол Эрдёш
14. Newman, M. E. J. The structure of scientific collaboration networks. In: Proc. Natl. Acad. Sci. USA, 2001. doi:10.1073/pnas.021544898
15. Хуанхо Руэ, 2014, с. 64—66.
16. Хуанхо Руэ, 2014, с. 67—69.
17. Хуанхо Руэ, 2014, с. 71—73.
18. Надгробный памятник на Еврейском кладбище на улице Козма (Kozma utcai izraelita temető)  (неопр.). Дата обращения: 14 мая 2019. Архивировано 14 мая 2019 года.
19. World Scientists' Warning To Humanity (англ.). stanford.edu (18 ноября 1992). Дата обращения: 25 июня 2019. Архивировано из оригинала 6 декабря 1998 года.
20. Marx György: A marslakók érkezése. Magyar tudósok, akik nyugaton alakították a 20. század történelmét, Akadémiai Kiadó Zrt., 2000.
21. Tudósportrék. Kardos István TV-sorozata, Kossuth Könyvkiadó, 1984, 261—274.
22. Доказательства из книги, 2006, с. 13.
23. Erdős, Paul; Szemerédi, Endre (1983), "On sums and products of integers" (PDF), Studies in Pure Mathematics. To the memory of Paul Turán, Basel: Birkhäuser Verlag, pp. 213—218, doi:10.1007/978-3-0348-5438-2_19, ISBN 978-3-7643-1288-6, MR 0820223, Архивировано из оригинала (PDF) 24 мая 2013, Дата обращения: 19 ноября 2018.
24. P. Erd6s and R. L. Graham, Old and new problems and results in combinatorial number theory. Monographie № 28 de L’Enseignement Math6matique (Gen6ve, 1980), p. 58
25. Paul Erdös (англ.). John Simon Guggenheim Foundation. gf.org. Дата обращения: 7 апреля 2019. Архивировано 7 июля 2019 года.

Литература

• Руэ, Хуанхо. Вечный странник // Искусство подсчёта. Комбинаторика и перечисление (глава 3). — М.: Де Агостини, 2014. — 144 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 34). — ISBN 978-5-9774-0729-8.
• Мартин Айгнер, Гюнтер Циглер. Доказательства из книги. — М.: Мир, 2006. — 255 с. — ISBN 5-03-003690-3.

Ссылки

• Волков М. В. Пол Эрдёш: необычная жизнь и необычайная математика // МИФ. — 1998—1999. — № 2.
• Джон Дж. О’Коннор и Эдмунд Ф. Робертсон. Эрдёш, Пал (англ.) — биография в архиве MacTutor.
•  N — это число — документальный фильм об Эрдёше (1993), режиссёр — Джордж Пол Ксиксери