Циклический избыточный код

Эта статья — о коде. О методе мозгового штурма см. CRC-карта.

Циклический избыточный код (англ. Cyclic redundancy check^{[нет в источнике]}, CRC^[1]) — алгоритм нахождения контрольной суммы, предназначенный для проверки целостности данных^[2]. CRC является практическим приложением помехоустойчивого кодирования, основанным на определённых математических свойствах циклического кода.

Введение

Основная статья: Циклический код

Понятие циклические коды — достаточно широкое^[3]. В англоязычной литературе CRC понимается двояко в зависимости от контекста: Cyclic Redundancy Code или Cyclic Redundancy Check^[4]. Под первым понятием подразумевают математический феномен циклических кодов, под вторым — конкретное применение этого феномена как хеш-функции.

Циклические коды не только просты в реализации, но и обладают тем преимуществом, что подходят для обнаружения пакетных ошибок: непрерывных последовательностей ошибочных символов данных в сообщениях. Это важно, потому что пакетные ошибки являются распространёнными ошибками передачи во многих каналах связи, включая магнитные и оптические устройства. Обычно n‑разрядный CRC, применяемый к блоку данных произвольной длины, и при расположении контрольной суммы непосредственно вслед за данными, обнаруживает любой одиночный пакет ошибок длиной не более n бит, а доля всех более длинных пакетов ошибок, которые он обнаружит, равна (1 − 2⁻ⁿ).

Помехоустойчивое кодирование

Основная статья: Обнаружение и исправление ошибок

Первые попытки создания кодов с избыточной информацией начались задолго до появления современных компьютеров. К примеру, ещё в 1960-х годах Ридом и Соломоном была разработана эффективная методика кодирования — Код Рида-Соломона. Использование её в те времена не представлялось возможным, так как произвести операцию декодирования за разумное время первыми алгоритмами не удавалось. Точку в этом вопросе поставила фундаментальная работа Берлекэмпа, опубликованная в 1968 году. Эта методика, на практическое применение которой указал через год Мэсси, и по сей день используется в цифровых устройствах, обеспечивающих приём RS-кодированных данных. Более того: данная система позволяет не только определять позиции, но и исправлять неверные кодовые символы (чаще всего октеты).

Но далеко не всегда от кода требуется коррекция ошибок. Многие современные каналы связи обладают приемлемыми характеристиками, и зачастую достаточно лишь проверить, успешно ли прошла передача или возникли какие-нибудь сложности; структура же ошибок и конкретные позиции неверных символов совершенно не интересуют принимающую сторону. И в этих условиях очень удачным решением оказались алгоритмы, использующие контрольные суммы. CRC как нельзя лучше подходит для подобных задач: невысокие затраты ресурсов, простота реализации и уже сформированный математический аппарат из теории линейных циклических кодов обеспечили ей огромную популярность.

Хотя код CRC используют обычно только для обнаружения ошибок, его математические свойства дают возможность найти и исправить одиночную ошибку в блоке бит, если каждому биту защищаемого блока (включая проверочные биты) соответствует свой уникальный остаток от деления на порождающий многочлен. Например, если порождающий многочлен неприводим, и длина блока не превышает порядок порождённой циклической группы.

Контрольная сумма

Основная статья: Контрольная сумма

В общем виде контрольная сумма представляет собой некоторое значение, вычисленное по определённой схеме на основе кодируемого сообщения. Проверочная информация при систематическом кодировании приписывается к передаваемым данным. На принимающей стороне абонент знает алгоритм вычисления контрольной суммы: соответственно, программа имеет возможность проверить корректность принятых данных.

При передаче пакетов по сетевому каналу могут возникнуть искажения исходной информации вследствие разных внешних воздействий: электрических наводок, плохих погодных условий и многих других. Сущность методики в том, что при хороших характеристиках контрольной суммы в подавляющем числе случаев ошибка в сообщении приведёт к изменению его контрольной суммы. Если исходная и вычисленная суммы не равны между собой, принимается решение о недостоверности принятых данных, и можно запросить повторную передачу пакета.

Математическое описание

Алгоритм CRC базируется на свойствах деления с остатком двоичных многочленов, то есть многочленов над конечным полем ${\displaystyle GF(2)}$. Значение CRC является по сути остатком от деления многочлена, соответствующего входным данным, на некий фиксированный порождающий многочлен^[англ.].

Каждой конечной последовательности битов ${\displaystyle a_{0},a_{1},\dots ,a_{N-1}}$ взаимно однозначно сопоставляется двоичный полином ${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{N-1}a_{n}x^{n}}$, последовательность коэффициентов которого представляет собой исходную последовательность. Например, последовательность битов 1011010 соответствует многочлену:

${\displaystyle P(x)=1\cdot x^{6}+0\cdot x^{5}+1\cdot x^{4}+1\cdot x^{3}+0\cdot x^{2}+1\cdot x^{1}+0\cdot x^{0}=x^{6}+x^{4}+x^{3}+x^{1}.}$

Количество различных многочленов степени, меньшей ${\displaystyle N}$, равно ${\displaystyle 2^{N}}$, что совпадает с числом всех двоичных последовательностей длины ${\displaystyle N}$.

Значение контрольной суммы в алгоритме с порождающим многочленом ${\displaystyle G(x)}$ степени ${\displaystyle N}$ определяется как битовая последовательность длины ${\displaystyle N}$, представляющая многочлен ${\displaystyle R(x)}$, получившийся в остатке при делении многочлена ${\displaystyle P(x)}$, представляющего входной поток бит, на многочлен ${\displaystyle G(x)}$:

${\displaystyle R(x)=P(x)\cdot x^{N}\,{\bmod {\,}}G(x)}$

где

${\displaystyle R(x)}$ — многочлен, представляющий значение CRC;

${\displaystyle P(x)}$ — многочлен, коэффициенты которого представляют входные данные;

${\displaystyle G(x)}$ — порождающий многочлен;

${\displaystyle N}$ — степень порождающего многочлена.

Умножение ${\displaystyle x^{N}}$ осуществляется приписыванием ${\displaystyle N}$ нулевых битов к входной последовательности, что улучшает качество хеширования для коротких входных последовательностей.

При делении с остатком различных исходных многочленов на порождающий полином ${\displaystyle G(x)}$ степени ${\displaystyle N}$ можно получить ${\displaystyle 2^{N}}$ различных остатков от деления. ${\displaystyle G(x)}$ зачастую является неприводимым многочленом. Обычно его подбирают в соответствии с требованиями к хеш-функции в контексте каждого конкретного применения.

Тем не менее, существует множество стандартизированных образующих многочленов, обладающих хорошими математическими и корреляционными свойствами (минимальное число коллизий, простота вычисления), некоторые из которых перечислены ниже.

Вычисление CRC

Параметры алгоритма

Одним из основных параметров CRC является порождающий полином.

С порождающим полиномом связан другой параметр — его степень, которая определяет количество битов, используемых для вычисления значения CRC. На практике наиболее распространены 8-, 16- и 32-битовые слова, что является следствием особенностей архитектуры современной вычислительной техники.

Ещё одним параметром является начальное (стартовое) значение слова. Указанные параметры полностью определяют «традиционный» алгоритм вычисления CRC. Существуют также модификации алгоритма, например, использующие обратный порядок обработки битов.

Описание процедуры

Из файла берётся первое слово — это может быть битовый (CRC-1), байтовый (CRC-8) или любой другой элемент. Если старший бит в слове «1», то слово сдвигается влево на один разряд с последующим выполнением операции XOR с порождающим полиномом. Соответственно, если старший бит в слове «0», то после сдвига операция XOR не выполняется. После сдвига теряется старший бит, а на место младшего бита загружается очередной бит из файла, и операция повторяется до тех пор, пока не загрузится последний бит файла. После прохождения всего файла в слове остаётся остаток, который и является контрольной суммой.

Популярные и стандартизованные полиномы

В то время как циклические избыточные коды являются частью стандартов, у этого термина не существует общепринятого определения — трактовки различных авторов нередко противоречат друг другу^[1][5].

Этот парадокс касается и выбора многочлена-генератора: зачастую стандартизованные полиномы не являются самыми эффективными в плане статистических свойств соответствующего им check redundancy code.

При этом многие широко используемые полиномы не являются наиболее эффективными из всех возможных. В 1993—2004 годах группа учёных занималась исследованием порождающих многочленов разрядности до 16^[1] 24 и 32 бит^[6][7] и нашла полиномы, дающие лучшую, нежели стандартизированные многочлены, производительность в смысле кодового расстояния^[7]. Один из результатов этого исследования уже нашёл своё применение в протоколе iSCSI.

Самый популярный и рекомендуемый IEEE полином для CRC-32 используется в Ethernet, FDDI; также этот многочлен является генератором кода Хемминга^[8]. Использование другого полинома — CRC-32C — позволяет достичь такой же производительности при длине исходного сообщения от 58 бит до 131 кбит, а в некоторых диапазонах длины входного сообщения может быть даже выше, поэтому в наши дни он тоже пользуется популярностью^[7]. К примеру, стандарт ITU-T G.hn использует CRC-32C с целью обнаружения ошибок в полезной нагрузке.

Ниже в таблице перечислены наиболее распространённые многочлены — генераторы CRC. На практике вычисление CRC может включать пре- и постинверсию, а также обратный порядок обработки битов. В проприетарных реализациях CRC для усложнения анализа кода применяют ненулевые начальные значения регистров.

Название	Полином	Представления:[9] нормальное / реверсированное / реверсированное от обратного
CRC-1	${\displaystyle x+1}$ (используется в аппаратном контроле ошибок; также известен как бит чётности)	0x1 / 0x1 / 0x1
CRC-4-ITU	${\displaystyle x^{4}+x+1}$ (ITU G.704[10])	0x3 / 0xC / 0x9
CRC-5-EPC	${\displaystyle x^{5}+x^{3}+1}$ (Gen 2 RFID[11])	0x09 / 0x12 / 0x14
CRC-5-ITU	${\displaystyle x^{5}+x^{4}+x^{2}+1}$ (ITU G.704[12])	0x15 / 0x15 / 0x1A
CRC-5-USB	${\displaystyle x^{5}+x^{2}+1}$ (USB token packets)	0x05 / 0x14 / 0x12
CRC-6-ITU	${\displaystyle x^{6}+x+1}$ (ITU G.704[13])	0x03 / 0x30 / 0x21
CRC-7	${\displaystyle x^{7}+x^{3}+1}$ (системы телекоммуникации, ITU-T G.707[14], ITU-T G.832[15], MMC, SD)	0x09 / 0x48 / 0x44
CRC-8-CCITT	${\displaystyle x^{8}+x^{2}+x+1}$ (ATM HEC), ISDN Header Error Control and Cell Delineation ITU-T I.432.1 (02/99)	0x07 / 0xE0 / 0x83
CRC-8-Dallas/Maxim	${\displaystyle x^{8}+x^{5}+x^{4}+1}$ (1-Wire bus)	0x31 / 0x8C / 0x98
CRC-8-DVB-S2	${\displaystyle x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+1}$ (ETSI EN 302 307[16], 5.1.4)	0xD5 / 0xAB / 0xEA[1]
CRC-8-SAE J1850	${\displaystyle x^{8}+x^{4}+x^{3}+x^{2}+1}$	0x1D / 0xB8 / 0x8E
CRC-10	${\displaystyle x^{10}+x^{9}+x^{5}+x^{4}+x+1}$	0x233 / 0x331 / 0x319
CRC-11	${\displaystyle x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{2}+1}$ (FlexRay[17])	0x385 / 0x50E / 0x5C2
CRC-12	${\displaystyle x^{12}+x^{11}+x^{3}+x^{2}+x+1}$ (системы телекоммуникации[18][19])	0x80F / 0xF01 / 0xC07
CRC-15-CAN	${\displaystyle x^{15}+x^{14}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{4}+x^{3}+1}$	0x4599 / 0x4CD1 / 0x62CC
CRC-16-IBM	${\displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{2}+1}$ (Bisync, Modbus, USB, ANSI X3.28[20], многие другие; также известен как CRC-16 и CRC-16-ANSI)	0x8005 / 0xA001 / 0xC002
CRC-16-CCITT	${\displaystyle x^{16}+x^{12}+x^{5}+1}$ (X.25, HDLC, XMODEM, Bluetooth, SD и др.)	0x1021 / 0x8408 / 0x8810[1]
CRC-16-T10-DIF	${\displaystyle x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{9}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$ (SCSI DIF)	0x8BB7[21] / 0xEDD1 / 0xC5DB
CRC-16-DNP	${\displaystyle x^{16}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{6}+x^{5}+x^{2}+1}$ (DNP, IEC 870, M-Bus)	0x3D65 / 0xA6BC / 0x9EB2
CRC-16-Fletcher	Не CRC; см. Fletcher's checksum	Используется в Adler-32 A & B CRC
CRC-24	${\displaystyle x^{24}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{16}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{3}+x+1}$ (FlexRay[17])	0x5D6DCB / 0xD3B6BA / 0xAEB6E5
CRC-24-Radix-64	${\displaystyle x^{24}+x^{23}+x^{18}+x^{17}+x^{14}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{5}+x^{4}+x^{3}+x+1}$ (OpenPGP)	0x864CFB / 0xDF3261 / 0xC3267D
CRC-30	${\displaystyle x^{30}+x^{29}+x^{21}+x^{20}+x^{15}+x^{13}+x^{12}+x^{11}+x^{8}+x^{7}+x^{6}+x^{2}+x+1}$ (CDMA)	0x2030B9C7 / 0x38E74301 / 0x30185CE3
CRC-32-Adler	Не CRC; см. Adler-32	См. Adler-32
CRC-32-IEEE 802.3	${\displaystyle x^{32}+x^{26}+x^{23}+x^{22}+x^{16}+x^{12}+x^{11}+x^{10}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{4}+x^{2}+x+1}$ (V.42, MPEG-2, PNG[22], POSIX cksum)	0x04C11DB7 / 0xEDB88320 / 0x82608EDB[7]
CRC-32C (Castagnoli)	${\displaystyle x^{32}+x^{28}+x^{27}+x^{26}+x^{25}+x^{23}+x^{22}+x^{20}+x^{19}+x^{18}+x^{14}+x^{13}+x^{11}+x^{10}+x^{9}+x^{8}+x^{6}+1}$ (iSCSI, G.hn payload)	0x1EDC6F41 / 0x82F63B78 / 0x8F6E37A0[7]
CRC-32K (Koopman)	${\displaystyle x^{32}+x^{30}+x^{29}+x^{28}+x^{26}+x^{20}+x^{19}+x^{17}+x^{16}+x^{15}+x^{11}+x^{10}+x^{7}+x^{6}+x^{4}+x^{2}+x+1}$	0x741B8CD7 / 0xEB31D82E / 0xBA0DC66B[7]
CRC-32Q	${\displaystyle x^{32}+x^{31}+x^{24}+x^{22}+x^{16}+x^{14}+x^{8}+x^{7}+x^{5}+x^{3}+x+1}$ (aviation; AIXM[23])	0x814141AB / 0xD5828281 / 0xC0A0A0D5
CRC-64-ISO	${\displaystyle x^{64}+x^{4}+x^{3}+x+1}$ (HDLC — ISO 3309)	0x000000000000001B / 0xD800000000000000 / 0x800000000000000D
CRC-64-ECMA	${\displaystyle x^{64}+x^{62}+x^{57}+x^{55}+x^{54}+x^{53}+x^{52}+x^{47}+x^{46}+x^{45}+x^{40}+x^{39}+x^{38}+x^{37}+x^{35}+x^{33}+}$ ${\displaystyle x^{32}+x^{31}+x^{29}+x^{27}+x^{24}+x^{23}+x^{22}+x^{21}+x^{19}+x^{17}+x^{13}+x^{12}+x^{10}+x^{9}+x^{7}+x^{4}+x+1}$[24]	0x42F0E1EBA9EA3693 / 0xC96C5795D7870F42 / 0xA17870F5D4F51B49

Существующие стандарты CRC-128 (IEEE) и CRC-256 (IEEE) в настоящее время^{[когда?]} вытеснены криптографическими хеш-функциями.

Спецификации алгоритмов CRC

Одной из самых известных является методика Ross N. Williams^[25]. В ней используются следующие параметры:

• Название алгоритма (name);

• Степень порождающего контрольную сумму многочлена (width);

• Сам производящий полином (poly). Для того, чтобы записать его в виде значения, его сначала записывают как битовую последовательность, при этом старший бит опускается — он всегда равен 1. К примеру, многочлен ${\displaystyle x^{8}+x^{4}+1}$ в данной нотации будет записан числом ${\displaystyle 00010001_{2}}$. Для удобства полученное двоичное представление записывают в шестнадцатеричной форме. Для нашего случая оно будет равно ${\displaystyle 11_{h}}$ или 0x11;

• Стартовые данные (init), то есть значения регистров на момент начала вычислений;

• Флаг (RefIn), указывающий на начало и направление вычислений, для обнаружения пакетов ошибок должно соответствовать порядку передачи в канале^[англ.]. Существует два варианта: False — начиная со старшего значащего бита (MSB-first) или True — с младшего (LSB-first);

• Флаг (RefOut), определяющий, инвертируется ли порядок битов регистра при входе на элемент XOR;

• Число (XorOut), с которым складывается по модулю 2 полученный результат;

• Значение CRC (check) для строки «123456789» .

Примеры^[26]

Name	Width	Poly	Init	RefIn	RefOut	XorOut	Check
CRC-3/ROHC	3	0x3	0x7	true	true	0x0	0x6
CRC-4/ITU	4	0x3	0x0	true	true	0x0	0x7
CRC-5/EPC	5	0x9	0x9	false	false	0x0	0x0
CRC-5/ITU	5	0x15	0x0	true	true	0x0	0x7
CRC-5/USB	5	0x5	0x1F	true	true	0x1F	0x19
CRC-6/CDMA2000-A	6	0x27	0x3F	false	false	0x0	0xD
CRC-6/CDMA2000-B	6	0x7	0x3F	false	false	0x0	0x3B
CRC-6/DARC	6	0x19	0x0	true	true	0x0	0x26
CRC-6/ITU	6	0x3	0x0	true	true	0x0	0x6
CRC-7	7	0x9	0x0	false	false	0x0	0x75
CRC-7/ROHC	7	0x4F	0x7F	true	true	0x0	0x53
CRC-8	8	0x7	0x0	false	false	0x0	0xF4
CRC-8/CDMA2000	8	0x9B	0xFF	false	false	0x0	0xDA
CRC-8/DARC	8	0x39	0x0	true	true	0x0	0x15
CRC-8/DVB-S2	8	0xD5	0x0	false	false	0x0	0xBC
CRC-8/EBU	8	0x1D	0xFF	true	true	0x0	0x97
CRC-8/I-CODE	8	0x1D	0xFD	false	false	0x0	0x7E
CRC-8/ITU	8	0x7	0x0	false	false	0x55	0xA1
CRC-8/MAXIM	8	0x31	0x0	true	true	0x0	0xA1
CRC-8/ROHC	8	0x7	0xFF	true	true	0x0	0xD0
CRC-8/WCDMA	8	0x9B	0x0	true	true	0x0	0x25
CRC-10	10	0x233	0x0	false	false	0x0	0x199
CRC-10/CDMA2000	10	0x3D9	0x3FF	false	false	0x0	0x233
CRC-11	11	0x385	0x1A	false	false	0x0	0x5A3
CRC-12/3GPP	12	0x80F	0x0	false	true	0x0	0xDAF
CRC-12/CDMA2000	12	0xF13	0xFFF	false	false	0x0	0xD4D
CRC-12/DECT	12	0x80F	0x0	false	false	0x0	0xF5B
CRC-13/BBC	13	0x1CF5	0x0	false	false	0x0	0x4FA
CRC-14/DARC	14	0x805	0x0	true	true	0x0	0x82D
CRC-15	15	0x4599	0x0	false	false	0x0	0x59E
CRC-15/MPT1327	15	0x6815	0x0	false	false	0x1	0x2566
CRC-16/ARC	16	0x8005	0x0	true	true	0x0	0xBB3D
CRC-16/AUG-CCITT	16	0x1021	0x1D0F	false	false	0x0	0xE5CC
CRC-16/BUYPASS	16	0x8005	0x0	false	false	0x0	0xFEE8
CRC-16/CCITT-FALSE	16	0x1021	0xFFFF	false	false	0x0	0x29B1
CRC-16/CDMA2000	16	0xC867	0xFFFF	false	false	0x0	0x4C06
CRC-16/DDS-110	16	0x8005	0x800D	false	false	0x0	0x9ECF
CRC-16/DECT-R	16	0x0589	0x0	false	false	0x1	0x7E
CRC-16/DECT-X	16	0x0589	0x0	false	false	0x0	0x7F
CRC-16/DNP	16	0x3D65	0x0	true	true	0xFFFF	0xEA82
CRC-16/EN-13757	16	0x3D65	0x0	false	false	0xFFFF	0xC2B7
CRC-16/GENIBUS	16	0x1021	0xFFFF	false	false	0xFFFF	0xD64E
CRC-16/MAXIM	16	0x8005	0x0	true	true	0xFFFF	0x44C2
CRC-16/MCRF4XX	16	0x1021	0xFFFF	true	true	0x0	0x6F91
CRC-16/RIELLO	16	0x1021	0xB2AA	true	true	0x0	0x63D0
CRC-16/T10-DIF	16	0x8BB7	0x0	false	false	0x0	0xD0DB
CRC-16/TELEDISK	16	0xA097	0x0	false	false	0x0	0xFB3
CRC-16/TMS37157	16	0x1021	0x89EC	true	true	0x0	0x26B1
CRC-16/USB	16	0x8005	0xFFFF	true	true	0xFFFF	0xB4C8
CRC-A	16	0x1021	0xC6C6	true	true	0x0	0xBF05
CRC-16/KERMIT	16	0x1021	0x0	true	true	0x0	0x2189
CRC-16/MODBUS	16	0x8005	0xFFFF	true	true	0x0	0x4B37
CRC-16/X-25	16	0x1021	0xFFFF	true	true	0xFFFF	0x906E
CRC-16/XMODEM	16	0x1021	0x0	false	false	0x0	0x31C3
CRC-24	24	0x864CFB	0xB704CE	false	false	0x0	0x21CF02
CRC-24/FLEXRAY-A	24	0x5D6DCB	0xFEDCBA	false	false	0x0	0x7979BD
CRC-24/FLEXRAY-B	24	0x5D6DCB	0xABCDEF	false	false	0x0	0x1F23B8
CRC-31/PHILIPS	31	0x04C11DB7	0x7FFFFFFF	false	false	0x7FFFFFFF	0xCE9E46C
CRC-32/zlib	32	0x04C11DB7	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0xCBF43926
CRC-32/BZIP2	32	0x04C11DB7	0xFFFFFFFF	false	false	0xFFFFFFFF	0xFC891918
CRC-32C	32	0x1EDC6F41	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0xE3069283
CRC-32D	32	0xA833982B	0xFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFF	0x87315576
CRC-32/MPEG-2	32	0x04C11DB7	0xFFFFFFFF	false	false	0x0	0x376E6E7
CRC-32/POSIX	32	0x04C11DB7	0x0	false	false	0xFFFFFFFF	0x765E7680
CRC-32Q	32	0x814141AB	0x0	false	false	0x0	0x3010BF7F
CRC-32/JAMCRC	32	0x04C11DB7	0xFFFFFFFF	true	true	0x0	0x340BC6D9
CRC-32/XFER	32	0xAF	0x0	false	false	0x0	0xBD0BE338
CRC-40/GSM	40	0x4820009	0x0	false	false	0xFFFFFFFFFF	0xD4164FC646
CRC-64	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0x0	false	false	0x0	0x6C40DF5F0B497347
CRC-64/WE	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	false	false	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	0x62EC59E3F1A4F00A
CRC-64/XZ	64	0x42F0E1EBA9EA3693	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	true	true	0xFFFFFFFFFFFFFFFF	0x995DC9BBDF1939FA

Примечания

1. Philip Koopman, Tridib Chakravarty. Cyclic Redundancy Code (CRC) Polynomial Selection For Embedded Networks  (неопр.) (2004). Дата обращения: ???. Архивировано 22 августа 2011 года.
2. Интернет-университет информационных технологий. Лекция: Организация беспроводных сетей  (неопр.). Дата обращения: 30 июля 2011. Архивировано 12 ноября 2011 года.
3. Интернет-университет информационных технологий Лекция: Алгоритмы сети Ethernet/Fast Ethernet  (неопр.). Дата обращения: 30 июля 2011. Архивировано 28 января 2010 года.
4. Walma, M.; Pipelined Cyclic Redundancy Check (CRC) Calculation  (неопр.). Дата обращения: 30 июля 2011. Архивировано 5 ноября 2011 года.
5. Greg Cook. Catalogue of parameterised CRC algorithms  (неопр.) (29 апреля 2009). Дата обращения: ???. Архивировано 22 августа 2011 года.
6. G. Castagnoli, S. Braeuer, M. Herrman. Optimization of Cyclic Redundancy-Check Codes with 24 and 32 Parity Bits // IEEE Transactions on Communications. — июнь 1993. — Т. 41, № 6. — С. 883. — doi:10.1109/26.231911.
7. P. Koopman. 32-Bit Cyclic Redundancy Codes for Internet Applications // The International Conference on Dependable Systems and Networks. — июнь 2002. — С. 459. — doi:10.1109/DSN.2002.1028931. Архивировано 29 марта 2008 года.
8. Brayer, K (1975). "Evaluation of error detection polynomial performance on the AUTOVON channel". Conference Record. National Telecommunications Conference, New Orleans, La. Vol. 1. New York: Institute of Electrical and Electronics Engineers. pp. 8—21 to 8-25. {{cite conference}}: Неизвестный параметр |coauthors= игнорируется (|author= предлагается) (справка); Неизвестный параметр |month= игнорируется (справка)
9. В представлениях опущен старший бит.
10. G.704 Архивная копия от 9 октября 2012 на Wayback Machine, p. 12
11. Class-1 Generation-2 UHF RFID Protocol version 1.2.0. — 23 октября 2008. — С. 35. Архивировано 20 ноября 2008 года.
12. G.704 Архивная копия от 9 октября 2012 на Wayback Machine, p. 9
13. G.704 Архивная копия от 9 октября 2012 на Wayback Machine, p. 3
14. G.707 : Network node interface for the synchronous digital hierarchy (SDH)  (неопр.). Дата обращения: 16 октября 2009. Архивировано 7 октября 2012 года.
15. G.832 : Transport of SDH elements on PDH networks — Frame and multiplexing structures  (неопр.). Дата обращения: 16 октября 2009. Архивировано 12 октября 2012 года.
16. EN 302 307. Digital Video Broadcasting (DVB); Second generation framing structure, channel coding and modulation systems for Broadcasting, Interactive Services, News Gathering and other broadband satellite applications (DVB-S2)  (неопр.). Дата обращения: 19 сентября 2011. Архивировано 4 июля 2012 года.
17. FlexRay Protocol Specification version 2.1 Revision A. — 22 декабря 2005. — С. 93.
18. A. Perez, Wismer, Becker. Byte-Wise CRC Calculations // IEEE Micro. — 1983. — Т. 3, № 3. — С. 40—50. — doi:10.1109/MM.1983.291120.
19. T. V. Ramabadran, S. S. Gaitonde. A tutorial on CRC computations // IEEE Micro. — 1988. — Т. 8, № 4. — С. 62—75. — doi:10.1109/40.7773.
20. Архивированная копия  (неопр.). Дата обращения: 16 октября 2009. Архивировано из оригинала 1 октября 2009 года.
21. Pat Thaler. 16-bit CRC polynomial selection  (неопр.). INCITS T10 (28 августа 2003). Дата обращения: ???. Архивировано 22 августа 2011 года.
22. Thomas Boutell, Glenn Randers-Pehrson и др. PNG (Portable Network Graphics) Specification, Version 1.2  (неопр.) (14 июля 1998). Дата обращения: ???. Архивировано 22 августа 2011 года.
23. AIXM Primer version 4.5  (неопр.). European Organisation for the Safety of Air Navigation (20 марта 2006). Дата обращения: ???. Архивировано 22 августа 2011 года.
24. ECMA-182 Архивная копия от 31 июля 2020 на Wayback Machine p. 51
25. Ross N. Williams. CRC Rocksoft  (неопр.) (1993). Дата обращения: 17 апреля 2012. Архивировано из оригинала 3 сентября 2011 года.
26. Greg Cook. Catalogue of parametrised CRC algorithms  (неопр.) (18 января 2016). Дата обращения: 1 февраля 2016. Архивировано 9 января 2016 года.

Литература

• Генри С. Уоррен, мл. Глава 5. Подсчет битов // Алгоритмические трюки для программистов = Hacker’s Delight. — М.: Вильямс, 2007. — 288 с. — ISBN 0-201-91465-4.

Ссылки

• Элементарное руководство по CRC алгоритмам обнаружения ошибок
• CRC, и как его восстановить
• Генератор CRC-функций на языках VHDL и Verilog
• Ross N. Williams/Anarchriz. Всё о CRC32 // Ross N. Williams. Элементарное руководство по CRC алгоритмам обнаружения ошибок
• Ross N. Williams. A PAINLESS GUIDE TO CRC ERROR DETECTION ALGORITHMS (англ.)

CRC Калькуляторы

• CRC-калькулятор, написан на Qt
• On-line CRC32-калькулятор, для строк (можно менять кодировку и формат EndLine)
• On-line CRC-калькулятор
• On-line CRC-калькулятор crccalc.com
• On-line CRC calculation and free library