Пятиячейник

Пра́вильный пятияче́йник, или просто пятияче́йник^[1], или пентахор (от др.-греч. πέντε — «пять» и χώρος — «место, пространство»), — один из шести правильных многоячейников в четырёхмерном пространстве: правильный четырёхмерный симплекс.

Пятиячейник
Диаграмма Шлегеля: проекция (перспектива) пятиячейника в трёхмерное пространство
Тип	Правильный четырёхмерный политоп
Символ Шлефли	{3,3,3}
Ячеек	5
Граней	10
Рёбер	10
Вершин	5
Вершинная фигура	Правильный тетраэдр
Двойственный политоп	Он же (самодвойственный)

Проекция вращающегося пятиячейника в трёхмерное пространство

Стереографическая проекция пятиячейника

Развёртка

Открыт Людвигом Шлефли в середине 1850-х годов^[2]. Символ Шлефли пятиячейника — {3,3,3}.

Двойственен сам себе. В отличие от пяти других правильных многоячейников, не имеет центральной симметрии.

Используется в физико-химическом анализе для изучения свойств многокомпонентных систем^[3].

Описание

Ограничен 5 трёхмерными ячейками — одинаковыми правильными тетраэдрами. Любые две ячейки — смежные; угол между ними равен ${\displaystyle \arccos \,{\frac {1}{4}}\approx 75{,}52^{\circ }.}$

Его 10 двумерных граней — одинаковые правильные треугольники. Каждая грань разделяет 2 примыкающие к ней ячейки.

Имеет 10 рёбер равной длины. На каждом ребре сходятся по 3 грани и по 3 ячейки.

Имеет 5 вершин. В каждой вершине сходятся по 4 ребра, по 6 граней и по 4 ячейки. Любые 2 вершины соединены ребром; любые 3 вершины принадлежат одной грани; любые 4 вершины принадлежат одной ячейке.

Пятиячейник можно рассматривать как правильную четырёхмерную пирамиду с тетраэдрическим основанием.

В координатах

Первый способ расположения

Пятиячейник можно разместить в декартовой системе координат так, чтобы его вершины имели координаты ${\displaystyle (1;1;1;0),}$ ${\displaystyle (1;-1;-1;0),}$ ${\displaystyle (-1;1;-1;0),}$ ${\displaystyle (-1;-1;1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;{\sqrt {5}}).}$

При этом точка ${\displaystyle \left(0;0;0;{\frac {\sqrt {5}}{5}}\right)}$ будет центром вписанной, описанной и полувписанных трёхмерных гиперсфер.

Второй способ расположения

Если разместить пятиячейник так, чтобы его вершины имели координаты ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),}$ ${\displaystyle \left({\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),}$ ${\displaystyle \left(-{\frac {\sqrt {5}}{4}};-{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {\sqrt {5}}{4}};{\frac {1}{4}}\right),}$ ${\displaystyle \left(0;0;0;-1\right),}$ то они будут лежать на гиперсфере радиуса ${\displaystyle 1}$ с центром в начале координат.

Третий способ расположения

В пятимерном пространстве возможно разместить пятиячейник так, чтобы все его вершины имели целые координаты: ${\displaystyle (1;0;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;1;0;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;1;0;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;1;0),}$ ${\displaystyle (0;0;0;0;1).}$

Центром вписанной, описанной и полувписанных гиперсфер при этом будет точка ${\displaystyle \left({\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}};{\frac {1}{5}}\right).}$

Ортогональные проекции на плоскость

Метрические характеристики

Если пятиячейник имеет ребро длины ${\displaystyle a,}$ то его четырёхмерный гиперобъём и трёхмерная гиперплощадь поверхности выражаются соответственно как

${\displaystyle V_{4}={\frac {\sqrt {5}}{96}}\;a^{4}\ \approx 0{,}0232924a^{4},}$

${\displaystyle S_{3}={\frac {5{\sqrt {2}}}{12}}\;a^{3}\approx 0{,}5892557a^{3}.}$

Радиус описанной трёхмерной гиперсферы (проходящей через все вершины многоячейника) при этом будет равен

${\displaystyle R={\frac {\sqrt {10}}{5}}\;a\approx 0{,}6324555a,}$

радиус внешней полувписанной гиперсферы (касающейся всех рёбер в их серединах) —

${\displaystyle \rho _{1}={\frac {\sqrt {15}}{10}}\;a\approx 0{,}3872983a,}$

радиус внутренней полувписанной гиперсферы (касающейся всех граней в их центрах) —

${\displaystyle \rho _{2}={\frac {\sqrt {15}}{15}}\;a\approx 0{,}2581989a,}$

радиус вписанной гиперсферы (касающейся всех ячеек в их центрах) —

${\displaystyle r={\frac {\sqrt {10}}{20}}\;a\approx 0{,}1581139a.}$

Неправильные пятиячейники

Иногда словом «пятиячейник» может обозначаться не только правильный, но и произвольный четырёхмерный симплекс.