Ядро интегрального оператора

Ядром интегрального оператора (ядро Фредгольма^[1]) называется функция двух аргументов ${\displaystyle K(x,\;y)}$, определяющая некий интегральный оператор ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ равенством

${\displaystyle \varphi (y)={\mathcal {A}}[\varphi (x)]=\int K(x,\;y)\varphi (x)\,d\mu (x),}$

где ${\displaystyle x\in \mathbb {X} }$ — пространство с мерой ${\displaystyle d\mu (x)}$, а ${\displaystyle \varphi (x)}$ принадлежит некоторому пространству функций, определённых на ${\displaystyle \mathbb {X} }$.

Примеры

• Ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ называется ${\displaystyle L_{2}}$-ядром, если оно удовлетворяет условию:

${\displaystyle \int \limits _{D}\int \limits _{D}|K(x,\;y)|^{2}\,dx\,dy<+\infty ,}$

где ${\displaystyle K(x,\;y)}$ — измеримая на ${\displaystyle D}$ функция.

Такие ядра являются основным предметом рассмотрения теории интегральных уравнений.

• Ядро, удовлетворяющее условию:

${\displaystyle K(x,\;y)\equiv 0}$ при ${\displaystyle y>x}$

называется ядром Вольтерры.

• Симметричное ядро — ядро, для которого выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)=K(y,\;x)}$.
• Если выполняется тождество ${\displaystyle K(x,\;y)={\overline {K(y,\;x)}}}$, где ${\displaystyle {\overline {K(y,\;x)}}}$ — комплексно сопряжённое к ${\displaystyle K(x,\;y)}$, то такое ядро называется эрмитовым.
• Если ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ допускает разложение вида:

${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{n}X_{k}(x)Y_{k}(y),}$

где ${\displaystyle \{X_{i}(x)\},\;\{Y_{i}(y)\}}$ ${\displaystyle (i=1,\;2,\;\ldots ,\;n)}$ — две системы линейно независимых интегрируемых с квадратом функций (${\displaystyle L_{2}}$-функций), такое ядро называется ядром Пинкерле — Гурса, или PG-ядром.

Связанные определения

• Спектром ядра называется множество его собственных значений.

Теорема Мерсера

Теорема Мерсера^[англ.] о разложении ядра гласит:

Если симметричное ${\displaystyle L_{2}}$-ядро ${\displaystyle K(x,\;y)}$ непрерывно и обладает лишь положительными собственными значениями (или самое большее конечным числом отрицательных собственных значений) ${\displaystyle \lambda _{k}}$, то справедливо представление:

${\displaystyle K(x,\;y)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\varphi _{k}(x)\varphi _{k}(y)}{\lambda _{k}}},}$

где ${\displaystyle \{\varphi _{k}(x)\}}$ — ортогональная система ${\displaystyle L_{2}}$-функций. При этом ряд сходится абсолютно и равномерно.

Литература

• Трикоми Ф. Интегральные уравнения. — М.: Издательство иностранной литературы, 1960. — 300 с.
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям. — М.: ФИЗМАТЛИТ, 2003. — 608 с. — ISBN 5-9221-0288-5..
• Полянин А. Д., Манжиров А. В. Справочник по интегральным уравнениям: Точные решения. — М.: Факториал, 1998. — 432 с. — ISBN 5-88688-024-0..

Примечания

1. Математическая энциклопедия / Под ред. И. М. Виноградова. — М.: Мир, 1985. — Т. 5. — С. 660. — 1060 с.