Эксцентрическая аномалия

Эксцентрическая аномалия в небесной механике — угловой параметр, определяющий положение тела, движущегося по эллиптической орбите. Эксцентрическая аномалия является одним из трёх угловых параметров («аномалий»), которые определяют положение на орбите. Другие два — истинная аномалия и средняя аномалия.

Графическое представление

Рассмотрим эллипс, заданный уравнением

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1,}$

где

${\displaystyle a}$ и ${\displaystyle b}$ — большая и малая полуоси.

Угол ${\displaystyle E}$ — эксцентрическая аномалия точки ${\displaystyle P}$. Точка ${\displaystyle O}$ — центр эллипса, Точка ${\displaystyle F}$ — фокус.

Для точки эллипса ${\displaystyle P=P(x,y)}$, отражающей положение тела на эллиптической орбите, эксцентрическая аномалия есть угол ${\displaystyle E}$ на рисунке. Эксцентрическая аномалия ${\displaystyle E}$ — один из углов прямоугольного треугольника с вершиной в центре эллипса, один катет которого лежит на большой оси, гипотенуза равна ${\displaystyle a}$ (большой полуоси эллипса), а второй катет (перпендикулярный большой оси и имеющий конец в точке ${\displaystyle P'}$ на вспомогательной окружности радиуса ${\displaystyle a}$) проходит через точку ${\displaystyle P}$. Эксцентрическая аномалия измеряется в том же направлении, что и истинная аномалия, обозначенная на рисунке как ${\displaystyle \theta }$. Эксцентричекая аномалия ${\displaystyle E}$ в терминах этих коорцинат выражается как^[1]

${\displaystyle \cos E={\frac {x}{a}}}$,

${\displaystyle \sin E={\frac {y}{b}}}$.

Второе уравнение устанавливается с использованием соотношения

${\displaystyle \left({\frac {y}{b}}\right)^{2}=1-\cos ^{2}E=\sin ^{2}E}$,

которое подразумевает, что ${\displaystyle \sin E=\pm {\frac {y}{b}}}$. Уравнение ${\displaystyle \sin E=-{\frac {y}{b}}}$ можно сразу исключить, поскольку оно означает движение в обратном направлении. Второе уравнение можно рассматривать как получающееся из подобного треугольника, катет которого имеет длину ${\displaystyle y}$, равную расстоянию от ${\displaystyle P}$ до большой оси, а гипотенуза ${\displaystyle b}$ равна малой полуоси эллипса.

Формулы

Расстояние и эксцентрическая аномалия

Эксцентриситет ${\displaystyle e}$ определяется как

${\displaystyle e={\sqrt {1-\left({\frac {b}{a}}\right)^{2}}}}$.

Из теоремы Пифагора для треугольника с гипотенузой ${\displaystyle FP}$, равной ${\displaystyle r}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}r^{2}&=b^{2}\sin ^{2}E+(ae-a\cos E)^{2}\\&=a^{2}\left(1-e^{2}\right)\left(1-\cos ^{2}E\right)+a^{2}\left(e^{2}-2e\cos E+\cos ^{2}E\right)\\&=a^{2}-2a^{2}e\cos E+a^{2}e^{2}\cos ^{2}E\\&=a^{2}\left(1-e\cos E\right)^{2}\\\end{aligned}}}$

Таким образом, расстояние связывается с эксцентрической аномалией формулой

${\displaystyle r=a\left(1-e\cos {E}\right)}$.

Используя этот результат, можно определить эксцентрическую аномалию через истинную аномалию.

Через истинную аномалию

Истинная аномалия — угол, обозначенный на рисунке ${\displaystyle \theta }$. Иногда её также обозначают как ${\displaystyle f}$ или ${\displaystyle \nu }$. Истинная аномалия и эксцентрическая аномалия связаны следующим образом^[2].

Используя формулу для ${\displaystyle r}$ выше, можно выразить синус и косинус ${\displaystyle E}$ через ${\displaystyle f}$:

${\displaystyle {\begin{aligned}\cos E&={\frac {\,x\,}{a}}={\frac {\,ae+r\cos f\,}{a}}=e+(1-e\cos E)\cos f\\\Rightarrow \cos E&={\frac {\,e+\cos f\,}{1+e\cos f}}\\\sin E&={\sqrt {\,1-\cos ^{2}E\;}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{1+e\cos f}}~.\end{aligned}}}$

Следовательно,

${\displaystyle \tan E={\frac {\,\sin E\,}{\cos E}}={\frac {\,{\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f\,}{e+\cos f}}~.}$

Угол ${\displaystyle E}$ — угол прямоугольного треугольника с гипотенузой ${\displaystyle 1+e\cos f}$ и катетами ${\displaystyle e+\cos f}$ и ${\displaystyle {\sqrt {\,1-e^{2}\;}}\,\sin f}$.

Также,

${\displaystyle \tan {\frac {\,f\,}{2}}={\sqrt {{\frac {\,1+e\,}{1-e}}\,}}\,\tan {\frac {\,E\,}{2}}}$

Подставляя ${\displaystyle \cos E}$, найденный выше, в выражение для ${\displaystyle r}$, расстояние от фокуса до точки ${\displaystyle P}$ можно найти через истинную аномалию:^[2]

${\displaystyle r={\frac {a\left(\,1-e^{2}\,\right)}{\,1+e\cos f\,}}={\frac {p}{\,1+e\cos f\,}}\,}$,

где

${\displaystyle \,p\equiv a\left(\,1-e^{2}\,\right)}$

называется фокальным параметром.

Через среднюю аномалию

Эксцентрическая аномалия ${\displaystyle E}$ связана со средней аномалией ${\displaystyle M}$ через уравнение Кеплера:^[3]

${\displaystyle M=E-e\sin E}$

Это уравнение не имеет аналитического решения для ${\displaystyle E}$ при данном ${\displaystyle M}$. Оно обычно решается численными методами, например, методом Ньютона-Рафсона. Оно может быть выражено в виде ряда Фурье как

${\displaystyle E=M+2\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {J_{n}(ne)}{n}}\sin(nM)}$

где ${\displaystyle J_{n}(x)}$ — функция Бесселя первого рода.

Примечания

1. George Albert Wentworth. The ellipse §126 // Elements of analytic geometry. — 2nd. — Ginn & Co., 1914. — P. 141.
2. Tsui, James Bao-yen. Fundamentals of Global Positioning System receivers: A software approach. — 3rd. — John Wiley & Sons, 2000. — P. 48. — ISBN 0-471-38154-3.
3. Michel Capderou. Definition of the mean anomaly, Eq. 1.68 // Satellites: orbits and missions. — Springer, 2005. — P. 21. — ISBN 2-287-21317-1.

Литература

• Murray, Carl D.; & Dermott, Stanley F. (1999); Solar System Dynamics, Cambridge University Press, Cambridge, GB
• Plummer, Henry C. K. (1960); An Introductory Treatise on Dynamical Astronomy, Dover Publications, New York, NY (Reprint of the 1918 Cambridge University Press edition)