Экспоненциальная сложность

Экспоненциальная сложность — в теории сложности алгоритмов, сложность задачи, ограниченная экспонентой от полинома от размерности задачи, то есть ограничена функцией ${\displaystyle \exp(P(n))}$, где ${\displaystyle P}$ — некоторый многочлен, а ${\displaystyle n}$ — размер задачи. В этом случае говорят, что сложность задачи растёт экспоненциально. Часто под сложностью подразумевают время выполнения алгоритма. В этом случае говорят, что алгоритм принадлежит к классу EXPTIME. Однако сложность может относиться и к памяти или другим ресурсам, нужным для работы алгоритма.

Различие между полиномиальными и экспоненциальными алгоритмами восходит к фон Нейману.^[1]

Временная сложность

Основная статья: Класс EXPTIME

Задачи с экспоненциальной сложностью времени работы образуют класс EXPTIME, в формально определяемый как:

${\displaystyle {\text{EXPTIME}}=\bigcup _{k=1}^{\infty }TIME\left(2^{n^{k}}\right)}$,

где ${\displaystyle TIME(f(n))}$ — множество задач, которые могут быть решены алгоритмами, время работы которых ограничено сверху функцией ${\displaystyle f(t)}$ .

Сравнение с полиномиальной сложностью

Принято считать, что алгоритмы с полиномиальной сложностью являются «быстрыми», в то время как алгоритмы, сложность которых больше полиномиальной, — «медленными». С этой точки зрения алгоритмы с экспоненциальной сложностью являются медленными. Однако, это предположение не совсем точное. Дело в том, что время работы алгоритма зависит от значения n (размерности задачи) и сопутствующих констант скрытых в O-нотации. В некоторых случаях для малых значений n полиномиальное время может превосходить экспоненциальное. Однако, для больши́х значений n время работы алгоритма с экспоненциальной сложностью существенно больше.

Субэкспоненциальная сложность

Существуют алгоритмы, которые работают более, чем за полиномиальное время («сверх-полиномиальное»), но менее, чем за экспоненциальное время («суб-экспоненциальное»). Примером такой задачи является разложение целого числа на простые множители (факторизация). Такие алгоритмы также относятся к «медленным».

См. также

• Класс EXPTIME
• O-нотация
• Постоянное время
• Линейное время
• NP-полная задача

Примечания

1. John von Neumann. A certain zero-sum two-person game equivalent to the optimal assignment problem // Contributions to the Theory of Games (англ.) / H. W. Kuhn, A. W. Tucker, Eds. — Princeton, NJ: Princeton Univ. Press, 1953. — P. 5-12. — 404 p.