Фрактал Ляпунова

Фракталы Ляпунова (также известные как фракталы Маркуса-Ляпунова) — бифуркационные фракталы, порождённые расширением логистического отображения, в которых степень роста совокупности r периодически меняет значение с A на B и наоборот.

Стандартный логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AB в области [2, 4] x [2, 4].

Фрагмент фрактала Ляпунова в виде ласточки. Итерационная последовательность AB в области [3.81, 3.87] x [3.81, 3.87]

Фракталы Ляпунова строятся отображением областей стабильного и хаотического поведения, измеряемых экспонентой Ляпунова (en) ${\displaystyle \lambda }$, в плоскости a-b для данной периодической последовательности a и b. На рисунках жёлтый цвет соответствует стабильности (${\displaystyle \lambda <0}$), а синий — хаосу (${\displaystyle \lambda >0}$).

Свойства

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью BBBBBBAAAAAA; зона роста параметра — в области [3.4, 4.0] x [2.5, 3.4]. Также известен как Zircon City.

Фракталы Ляпунова обычно строятся для значений A и B в интервале ${\displaystyle [0,4]}$. Для бо́льших значений интервал ${\displaystyle [0,1]}$ уже не стабилен, и последовательность вероятнее всего стремится к бесконечности, хотя для некоторых параметров всё ещё существуют сходящиеся циклы конечных значений. У всех итерационных последовательностей диагональ a = b такая же, как у стандартной логистической функции с одним параметром.

Последовательность обычно начинается со значения 0,5, которое является критической точкой итеративной функции. Другие (обычно комплекснозначные) критические точки итеративной функции одного полного цикла — это те, которые проходят через значение 0,5 в первом цикле. Сходящийся цикл должен содержать по меньшей мере одну критическую точку, поэтому все сходящиеся циклы могут быть получены всего лишь сдвигом итерационной последовательности с сохранением начального значения 0,5. На практике сдвиг этой последовательности приводит к изменениям фрактала, поскольку некоторые ветви перекрываются другими. Например, обратите внимание, что фрактал Ляпунова для итерационной последовательности AB не идеально симметричен относительно a и b.

Алгоритм генерации фракталов Ляпунова

Обобщённый логистический фрактал Ляпунова с итерационной последовательностью AABAB в области [2, 4] x [2, 4].

1. Выбрать строку из символов A и B любой нетривиальной длины (например, AABAB).
2. Построить последовательность ${\displaystyle S}$ последовательных символов строки, повторённых необходимое число раз.
3. Выбрать точку ${\displaystyle (a,b)\in [0,4]\times [0,4]}$.
4. Определить функцию ${\displaystyle r_{n}={\begin{cases}a,&S_{n}=A\\b,&S_{n}=B\end{cases}}}$.
5. Принять ${\displaystyle x_{0}=0,5}$ и выполнить итерации ${\displaystyle x_{n+1}=r_{n}x_{n}(1-x_{n})}$.
6. Вычислить экспоненту Ляпунова (англ.): ${\displaystyle \lambda =\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log \left|{dx_{n+1} \over dx_{n}}\right|=\lim _{N\rightarrow \infty }{\frac {1}{N}}\sum _{n=1}^{N}\log |r_{n}(1-2x_{n})|}$
7. Раскрасить точку ${\displaystyle (a,b)}$ согласно полученному значению ${\displaystyle \lambda }$.
8. Повторить шаги 3-7 для каждой точки плоскости изображения.

На практике ${\displaystyle \lambda }$ аппроксимируется подбором достаточно большого ${\displaystyle N}$. Этот алгоритм подходит для таких языков, как Mathematica, но не для языков низкого уровня.

Большее количество измерений

Анимация трёхмерного фрактала Ляпунова с итерационной последовательностью ABBBCA

Фракталы Ляпунова могут быть вычислены более чем в двух измерениях. Итерационная последовательность n-мерного фрактала строится из алфавита с количеством букв n. Например, последовательность "ABBBCA" трёхмерного фрактала, который может быть визуализирован либо как 3D объект, либо в виде анимации, каждый кадр которой показывает "срез" в направлении С, как на примере, приведённом в статье.

Ссылки

• EFG’s Fractals and Chaos — Lyapunov Exponents (англ.)
• Elert, Glenn Lyapunov Space  (неопр.). The Chaos Hypertextbook. Дата обращения: 23 февраля 2017. Архивировано 30 марта 2012 года. (англ.)