Закон Рэлея — Джинса

Зако́н Рэле́я — Джи́нса — закон, определяющий вид объёмной спектральной плотности энергии излучения ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и излучательной способности ${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)}$ абсолютно чёрного тела с температурой ${\displaystyle T}$. Получен Рэлеем и Джинсом в рамках классической статистики (теоремы о равнораспределении энергии по степеням свободы и представлений об электромагнитном поле как о бесконечномерной динамической системе)^[1][2][3]. Здесь ${\displaystyle \omega }$ — частота излучения, но в качестве аргумента могут выбираться и другие параметры, например длина волны.

Правильно описывает низкочастотную часть спектра, при средних частотах приводит к резкому расхождению с экспериментом, а при высоких — к абсурдному результату (см. ниже), указывающему на неприменимость представлений классической физики в данной задаче. Универсальным выражением для спектральной плотности является формула Планка, в пределе ${\displaystyle \omega \to 0}$ превращающаяся в закон Рэлея — Джинса.

Вывод формулы Рэлея — Джинса

Вывод основывается на законе о равнораспределении энергии по степеням свободы, в соответствии с которым на каждое электромагнитное колебание приходится, в среднем, энергия ${\displaystyle kT}$ (${\displaystyle k}$ - постоянная Больцмана), состоящая из двух частей ${\displaystyle kT/2}$. Одну половинку вносит электрическая составляющая волны, а вторую — магнитная.

Само по себе равновесное излучение в полости внутри абсолютно чёрного тела можно представить как систему стоячих волн. Количество стоячих волн в трехмерном пространстве в диапазоне частот ${\displaystyle \omega \ldots \omega +\mathrm {d} \omega }$ даётся выражением

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{2\pi ^{2}v^{3}}}}$.

Зависимость излучательной способности абсолютно чёрного тела от длины волны для разных температур (выделены цветом) и её вид, исходя из классических рассуждений Рэлея и Джинса (черный цвет)

Скорость волны ${\displaystyle v}$ следует положить равной скорости света ${\displaystyle c}$. Так как в одном направлении могут двигаться две электромагнитные волны с одной частотой, но со взаимно перпендикулярными поляризациями, выражение вдобавок необходимо помножить на два:

${\displaystyle \mathrm {d} n_{\omega }={\frac {\omega ^{2}\mathrm {d} \omega }{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Рэлей и Джинс каждому колебанию приписали энергию ${\displaystyle {\overline {E}}=kT}$. При этом плотность энергии, приходящаяся на интервал частот ${\displaystyle \mathrm {d} \omega }$, составит

${\displaystyle u(\omega ,T)\mathrm {d} \omega ={\overline {E}}\mathrm {d} n_{\omega }=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\mathrm {d} \omega }$,

и, следовательно:

${\displaystyle u(\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}kT}{\pi ^{2}c^{3}}}}$.

Можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «длина волны ${\displaystyle \lambda }$» (${\displaystyle \omega =2\pi c/\lambda }$):

${\displaystyle u(\lambda ,T)=u(\omega ,T)\cdot |{\frac {d\omega }{d\lambda }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot {\frac {2\pi c}{\lambda ^{2}}}={\frac {8\pi kT}{\lambda ^{4}}}}$.

Также можно перейти от аргумента «частота ${\displaystyle \omega }$» к аргументу «частота ${\displaystyle \nu }$» в герцах (${\displaystyle \omega =2\pi \nu }$):

${\displaystyle u(\nu ,T)=u(\omega ,T)\cdot |{\frac {d\omega }{d\nu }}|=kT{\frac {\omega ^{2}}{\pi ^{2}c^{3}}}\cdot 2\pi ={\frac {8\pi \nu ^{2}kT}{c^{3}}}}$.

Нередко для акцентуации, какой аргумент имеется в виду, символ ${\displaystyle u}$ снабжают значком: ${\displaystyle u_{\omega }}$, ${\displaystyle u_{\nu }}$ или ${\displaystyle u_{\lambda }}$.

Зная связь излучательной способности абсолютно чёрного тела ${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)={\frac {c}{4}}u(\omega ,T)}$, ${\displaystyle \varepsilon (\lambda ,T)={\frac {c}{4}}u(\lambda ,T)}$ и ${\displaystyle \varepsilon (\nu ,T)={\frac {c}{4}}u(\nu ,T)}$, находим:

${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}kT}{4\pi ^{2}c^{2}}}}$.

${\displaystyle \varepsilon (\lambda ,T)={\frac {2\pi ckT}{\lambda ^{4}}}}$,

${\displaystyle \varepsilon (\nu ,T)={\frac {2\pi \nu ^{2}kT}{c^{2}}}}$.

Зная связь энергетической яркости абсолютно чёрного тела ${\displaystyle B(\omega ,T)}$ с равновесной плотностью энергии теплового излучения ${\displaystyle B(\omega ,T)={\frac {c}{4\pi }}u(\omega ,T)}$, ${\displaystyle B(\lambda ,T)={\frac {c}{4\pi }}u(\lambda ,T)}$ и ${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {c}{4\pi }}u(\nu ,T)}$, находим:

${\displaystyle B(\omega ,T)={\frac {\omega ^{2}kT}{4\pi ^{3}c^{2}}}}$.

${\displaystyle B(\lambda ,T)={\frac {2ckT}{\lambda ^{4}}}}$,

${\displaystyle B(\nu ,T)={\frac {2\nu ^{2}kT}{c^{2}}}}$.

Выражения для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)}$ называют формулой Рэлея — Джинса.

Ультрафиолетовая катастрофа

Основная статья: Ультрафиолетовая катастрофа

Формулы для ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ и ${\displaystyle \varepsilon (\omega ,T)}$ удовлетворительно согласуются с экспериментальными данными лишь для больших длин волн, на более коротких волнах теоретическая и экспериментальная кривые резко расходятся. Более того, интегрирование ${\displaystyle u(\omega ,T)}$ по ${\displaystyle \omega }$ в пределах от 0 до ${\displaystyle \infty }$ для равновесной плотности энергии ${\displaystyle u(T)}$ даёт бесконечно большое значение. Этот результат, получивший название ультрафиолетовой катастрофы, очевидно, входит в противоречие с экспериментом: равновесие между излучением и излучающим телом должно устанавливаться при конечных значениях ${\displaystyle u(T)}$. Логично предположить, что несогласие с экспериментом вызвано некими закономерностями, которые несовместимы с классической физикой. Эти закономерности были определены Максом Планком: в 1900 году ему удалось найти вид функции ${\displaystyle u(\omega ,T)}$, соответствующей опытным данным, в дальнейшем названной формулой Планка.

Примечания

1. Strutt JW (Rayleigh). Remarks upon the law of complete radiation (англ.) // Phil. Mag. : journal. — 1900. — Vol. 49. — P. 539—540.
2. Jeans JH. On the laws of radiation (англ.) // Proc. R. Soc. Lond. A : journal. — 1905. — Vol. 76. — P. 545—552. — doi:10.1098/rspa.1905.0060.
3. Говард Д. Джон Уильям Стрэтт (Лорд Рэлей) (рус.) // Успехи физических наук. — Российская академия наук, 1966. — Т. 88, № 1. — С. 149—160. Архивировано 6 ноября 2015 года.