Формула Пика

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Пика.

Формула Пи́ка (или теорема Пи́ка) — классический результат комбинаторной геометрии и геометрии чисел, даёт выражение для площади многоугольника с целочисленными вершинами.

Названа в честь Георга Пика, доказавшего её в 1899 году.

Формулировка

В = 7, Г = 8,
В + Г/2 − 1 = 10

Площадь многоугольника с целочисленными вершинами^[1] равна ${\displaystyle {\text{В}}+{\dfrac {\text{Г}}{2}}-1}$, где В — количество целочисленных точек внутри многоугольника, а Г — количество целочисленных точек на границе многоугольника.

Следствия

• Площадь треугольника с вершинами в узлах и не содержащего узлов ни внутри, ни на сторонах (кроме вершин), равна 1/2.
  • Этот факт даёт геометрическое доказательство формулы для разности подходящих дробей цепной дроби.

Вариации и обобщения

Контрпример к аналогу теоремы Пика в размерности 3.

• Многочлен Эрара даёт один из вариантов обобщения формулы Пика на старшие размерности.

• Если все грани целочисленного многогранника ${\displaystyle M}$ центрально симметричны (в частности если многогранник является зонэдром) то его объём может быть вычислен по формуле

  ${\displaystyle V(M)={\tfrac {1}{4\pi }}\cdot \sum _{v}\alpha (v),}$

где суммирование ведётся по всем целочисленным точкам ${\displaystyle v\in M}$ и ${\displaystyle \alpha (v)}$ телесный угол ${\displaystyle M}$ при ${\displaystyle v}$; если ${\displaystyle v}$ лежит внутри ${\displaystyle M}$, то считается что ${\displaystyle \alpha (v)=4\cdot \pi }$.^[2]

• Аналогичное утверждение верно и в ${\displaystyle n}$-мерном евклидовом пространстве ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$

${\displaystyle V(M)={\tfrac {1}{\omega _{n}}}\cdot \sum _{v}\alpha (v),}$

где ${\displaystyle \omega _{n}}$ обозначает площадь единичной сферы в ${\displaystyle \mathbb {E} ^{n}}$.

Примечания

1. Точка координатной плоскости называется целочисленной, если обе её координаты целые.
2. Tabachnikov, Sergei, Pierre Deligne, and Sinai Robins. The Ice Cube Proof (англ.) // The Mathematical Intelligencer. — 2014. — Vol. 36, no. 4. — P. 1-3.

Литература

• В. В. Прасолов. Задачи по планиметрии. — М.: МЦНМО, 2001. — 584 с. — ISBN 5-900916-82-0.
• А. Кушниренко. Целые точки в многоугольниках и многогранниках // Квант. — 1977. — № 4. — С. 13—20.