Формула Бернулли

Формула Бернулли — формула в теории вероятностей, позволяющая находить вероятность появления события ${\displaystyle A}$ определённое количество раз при любом числе независимых испытаний. Формула Бернулли позволяет избавиться от большого числа вычислений — сложения и умножения вероятностей — при достаточно большом количестве испытаний. Названа в честь выдающегося швейцарского математика Якоба Бернулли, который вывел эту формулу.

Формулировка

Теорема. Если вероятность ${\displaystyle p}$ наступления некоторого события в каждом испытании постоянна, то вероятность ${\displaystyle P_{n}^{k}}$ того, что данное событие наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях, равна ${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}}$, где ${\displaystyle q=1-p}$.^[1]

Доказательство

Пусть проводится ${\displaystyle n}$ независимых испытаний, причём известно, что в результате каждого испытания событие ${\displaystyle A}$ наступает с вероятностью ${\displaystyle P(A)=p}$ и, следовательно, не наступает с вероятностью ${\displaystyle P({\bar {A}})=1-p=q}$. Пусть также в ходе испытаний вероятности ${\displaystyle p}$ и ${\displaystyle q}$ остаются неизменными. Какова вероятность того, что в результате ${\displaystyle n}$ независимых испытаний событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз?

Оказывается можно точно подсчитать число «удачных» комбинаций исходов испытаний, для которых событие ${\displaystyle A}$ наступает ${\displaystyle k}$ раз в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях, — в точности это количество сочетаний из ${\displaystyle n}$ по ${\displaystyle k}$:

${\displaystyle C_{n}^{k}={\frac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

В то же время, так как все испытания независимы и их исходы несовместимы (событие ${\displaystyle A}$ либо наступает, либо нет), то вероятность получения «удачной» комбинации в точности равна ${\displaystyle p^{k}q^{n-k}}$.

Окончательно, для того чтобы найти вероятность того, что в ${\displaystyle n}$ независимых испытаниях событие ${\displaystyle A}$ наступит ровно ${\displaystyle k}$ раз, нужно сложить вероятности получения всех «удачных» комбинаций. Вероятности получения всех «удачных» комбинаций одинаковы и равны ${\displaystyle p^{k}q^{n-k}}$, количество «удачных» комбинаций равно ${\displaystyle C_{n}^{k}}$, поэтому окончательно получаем:

${\displaystyle P_{n}^{k}=C_{n}^{k}p^{k}q^{n-k}=C_{n}^{k}p^{k}(1-p)^{n-k}.}$

Последнее выражение есть не что иное, как Формула Бернулли. Полезно также заметить, что в силу полноты группы событий будет справедливо

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(P_{n}^{k})=1.}$

См. также

• Факториал
• Биномиальный коэффициент
• Локальная теорема Муавра — Лапласа