Формализм Джонса

Формализм Джонса — математический аппарат для анализа поляризации световой волны, в котором поляризация задается так называемыми векторами Джонса, а линейные оптические элементы — матрицами Джонса^[1]. Формализм предложил 1941 Роберт Кларк Джонс. Формализм Джонса применим для полностью поляризованного света, для неполяризованного или частично поляризованного света нужно использовать формализм Мюллера.

Вектор Джонса

Вектор Джонса описывает поляризацию света в пустоте или другой однородной изотропной среде при отсутствии поглощения, там где свет можно описать поперечной электромагнитной волной. Пусть плоская волна распространяется в положительном направлении вдоль оси z и имеет циклическую частоту ω и волновой вектор k = (0,0,k), где волновое число k = ω/c. Тогда электрическое и магнитное поля (E и H) ортогональных к k в каждой точке; то есть лежат в плоскости, поперечной относительно направления движения. Более того, H определяется с E поворотом на 90 градусов и умножением на определённый коэффициент, зависящий от системы единиц и волнового импеданса среды. Поэтому при изучении поляризации достаточно сосредоточиться на E. Комплексная амплитуда E записывается

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{x}(t)\\E_{y}(t)\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i(kz-\omega t+\phi _{x})}\\E_{0y}e^{i(kz-\omega t+\phi _{y})}\\0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\\0\end{pmatrix}}e^{i(kz-\omega t)}}$.

Физическое значение E определяется действительной частью этого вектора, а комплексный множитель описывает фазу волны.

Тогда вектор Джонса определяется как:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}E_{0x}e^{i\phi _{x}}\\E_{0y}e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}\;.}$

Итак вектор Джонса сохраняет информацию об амплитуде и фазе x и y компонент поля.

Сумма квадратов абсолютных значений двух компонент вектора Джонса пропорциональна интенсивности света. Обычно её нормируют на единицу в той точке, откуда начинается расчёт. Обычно также предполагается, что первая компонента вектора Джонса является действительным числом. В этом случае отбрасывается информация о совместной фазе, которая, впрочем, необходима для расчёта интерференции с другими пучками.

Векторы и матрицы Джонса обозначаются так, что фаза волны задается ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$. При таком определении увеличению ${\displaystyle \phi _{x}}$ (или ${\displaystyle \phi _{y}}$) соответствует отставание по фазе, а уменьшению — опережение. Например, компонента вектора Джонса ${\displaystyle i}$ (${\displaystyle =e^{i\pi /2}}$) указывает на отставание на ${\displaystyle \pi /2}$ (или 90 градусов) по сравнению с 1. Применяется и другая конвенция (${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$), поэтому читателю следует быть внимательным.

Следующая таблица содержит 6 популярных примеров вектора Джонса:

Поляризация света	Вектор Джонса	Типовое кет-обозначение
Линейно поляризованный по x привычное название — горизонтальная	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |H\rangle }$
Линейно поляризованный по y привычное название — вертикальная	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |V\rangle }$
Линейно поляризованный под углом 45° к оси x привычное название — диагональная L+45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |D\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +|V\rangle )}$
Линейно поляризованный под углом −45° к оси x привычное название — антидиагональная L-45	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |A\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -|V\rangle )}$
Круговая поляризация по часовой стрелке привычное название — RCP или RHCP	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\-i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |R\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle -i|V\rangle )}$
Круговая поляризация против часовой стрелки привычное название — LCP или LHCP	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{pmatrix}1\\+i\end{pmatrix}}}$	${\displaystyle |L\rangle ={\frac {1}{\sqrt {2}}}(|H\rangle +i|V\rangle )}$

В общем случае любой вектор можно записать в кет-нотации как ${\displaystyle |\psi \rangle }$. Применяя сферу Пуанкаре (известную также как сфера Блоха), базовые кет-векторы (${\displaystyle |0\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$) должны обозначать противоположные кет-векторы из перечисленных пар. Например, можно обозначить ${\displaystyle |0\rangle }$ = ${\displaystyle |H\rangle }$ и ${\displaystyle |1\rangle }$ = ${\displaystyle |V\rangle }$. Выбор здесь произвольный. Противоположные пары:

• ${\displaystyle |H\rangle }$ и ${\displaystyle |V\rangle }$
• ${\displaystyle |D\rangle }$ и ${\displaystyle |A\rangle }$
• ${\displaystyle |R\rangle }$ и ${\displaystyle |L\rangle }$

Любую поляризацию, не совпадающую с ${\displaystyle |R\rangle }$ или ${\displaystyle |L\rangle }$ и не принадлежащую кругу, проходящему через ${\displaystyle |H\rangle ,|D\rangle ,|V\rangle ,|A\rangle }$, называют эллиптической.

Матрицы Джонса

Матрицами Джонса называют операторы, действующие на векторы Джонса. Их определяют для различных оптических элементов: линз, делителей пучков, зеркал и так далее. Каждая матрица является проекцией на одномерное комплексное пространство векторов Джонса. В следующей таблице приведены примеры матриц Джонса для поляризаторов:

Оптический элемент	Матрица Джонса
Линейный [[]]поляризатор с горизонтальной осью пропускания[1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с вертикальной осью пропускания[1]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}}$
Линейный поляризатор с осью пропускания под углом ±45° к горизонтальной[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&\pm 1\\\pm 1&1\end{pmatrix}}}$
Правозакрученный круговой поляризатор[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&i\\-i&1\end{pmatrix}}}$
Левозакрученный круговой поляризатор[1]	${\displaystyle {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}1&-i\\i&1\end{pmatrix}}}$

Манипулирование фазой

Фазовые преобразователи вносят изменение в разность фаз между вертикальной и горизонтальной поляризациями, управляя так поляризацией пучка. Обычно их изготавливают из одноосных кристаллов с двойным лучепреломлением, таких как кальцит, MgF ₂ или кварц . Одноосные кристаллы имеют одну из кристаллических осей, отличную от двух других (то есть, n_i ≠ n_j = n_k). Эту ось называют необычным или оптической. Оптическая ось может быть быстрой или медленной, в зависимости от кристалла. Свет распространяется с высокой фазовой скоростью вдоль оси с наименьшим показателем преломления, и эту ось называют быстрой. Аналогично, ось с наибольшим показателем преломления называется медленной. "Негативные" одноосные кристаллы (например, кальцит CaCO _3, сапфир Al₂O₃) имеют n_e <n_o, поэтому для этих кристаллов необычная (оптическое) ось является быстрой, тогда как "положительные" одноосные кристаллы (например, кварц SiO₂, фторид магния MgF₂, рутил TiO₂) имеют n_e>n_o, и необычная ось у них медленная.

Преобразователь фазы с быстрой осью, совпадающей с осями x или y, имеет нулевые недиагональные члены, а потому его можно отобразить матрицей

${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\phi _{x}}&0\\0&e^{i\phi _{y}}\end{pmatrix}}}$

где ${\displaystyle \phi _{x}}$ и ${\displaystyle \phi _{y}}$ — фазы электрического поля в направлениях x и y, соответственно. В этих обозначениях ${\displaystyle \phi =kz-\omega t}$ задает относительную фазу между двумя волнами как ${\displaystyle \epsilon =\phi _{y}-\phi _{x}}$. Тогда положительное значение ${\displaystyle \epsilon }$ (то есть ${\displaystyle \phi _{y}}$ > ${\displaystyle \phi _{x}}$) означает, что ${\displaystyle E_{y}}$ не будет иметь то же значение, что ${\displaystyle E_{x}}$ еще некоторое время, то есть ${\displaystyle E_{x}}$ впереди ${\displaystyle E_{y}}$. Аналогично, если ${\displaystyle \epsilon <0}$, то ${\displaystyle E_{y}}$ опережает ${\displaystyle E_{x}}$. Например, если быстрая ось четвертьволновой пластинки горизонтальная, то фазовая скорость горизонтальной поляризации будет опережать фазовую скорость вертикальной поляризации, то есть ${\displaystyle E_{x}}$ впереди ${\displaystyle E_{y}}$. Если ${\displaystyle \phi _{x}<\phi _{y}}$, что для четвертьволнового пластинки дает ${\displaystyle \phi _{y}=\phi _{x}+\pi /2}$.

Альтернативное обозначение для фазы:: ${\displaystyle \phi =\omega t-kz}$, определяет относительную фазу как ${\displaystyle \epsilon =\phi _{x}-\phi _{y}}$. Тогда ${\displaystyle \epsilon >0}$ означает, что ${\displaystyle E_{y}}$ еще некоторое время не будет того же значения, ${\displaystyle E_{x}}$, тогда ${\displaystyle E_{x}}$ опережает ${\displaystyle E_{y}}$.

Элемент	Матрица Джонса
Четвертьволновая пластинка с вертикальной быстрой осью [2] [3]	${\displaystyle e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&-i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с горизонтальной быстрой осью	${\displaystyle e^{i\pi /4}{\begin{pmatrix}1&0\\0&i\end{pmatrix}}}$
Четвертьволновая пластинка с быстрой осью под углом ${\displaystyle \theta }$ к горизонтальной оси	${\displaystyle e^{-i\pi /4}{\begin{pmatrix}\cos ^{2}\theta +i\sin ^{2}\theta &(1-i)\sin \theta \cos \theta \\(1-i)\sin \theta \cos \theta &\sin ^{2}\theta +i\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$
Полуволновая пластинка с быстрой осью под углом ${\displaystyle \theta }$ к горизонтальной оси [4]	${\displaystyle e^{-i\pi /2}{\begin{pmatrix}\cos 2\theta &\sin 2\theta \\\sin 2\theta &-\cos 2\theta \end{pmatrix}}}$
Произвольный материал с двойным преломлением (как фазовый преобразователь) [5]	${\displaystyle {\begin{pmatrix}e^{i\eta /2}\cos ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\sin ^{2}\theta &(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{-i\phi }\cos \theta \sin \theta \\(e^{i\eta /2}-e^{-i\eta /2})e^{i\phi }\cos \theta \sin \theta &e^{i\eta /2}\sin ^{2}\theta +e^{-i\eta /2}\cos ^{2}\theta \end{pmatrix}}}$

Примечания

1. Fowles, G. Introduction to Modern Optics (неопр.). — 2nd. — Dover, 1989. — С. 35.
2. Hecht, E. Optics (неопр.). — 4th. — 2001. — С. 378. — ISBN 0805385665.
3. Множитель ${\displaystyle e^{i\pi /4}}$ появляется только тогда, когда фазы заданы симметрично, то есть ${\displaystyle \phi _{x}=-\phi _{y}=\pi /4}$. Такое определение использует книга ^[2], но не книга ^[1].
4. Gerald, A. Introduction to Matrix Methods in Optics (неопр.). — 1st. — 1975. — ISBN 0471296856.
5. Obtainment of the polarizing and retardation parameters of a non-depolarizing optical system from the polar decomposition of its Mueller matrix, Optik, Jose Jorge Gill and Eusebio Bernabeu,76, 67-71 (1987).