Уравнение Джонсона — Мела — Аврами — Колмогорова

Уравнение Колмогорова —Джонсона — Мела — Аврами (англ. Kolmogorov — Johnson — Mehl — Avrami — equation, JMAK) описывает процесс фазового перехода при постоянной температуре. Изначально оно было получено для случая кристаллизации расплавов в 1937 году А. Н. Колмогоровым^[1], и независимым образом в 1939 году Р. Ф. Мелом^[англ.] и У. Джонсоном^[2], а также было популяризировано в серии статей М. Аврами в 1939—1941 годах. Однако, формула может быть обобщена на случаи других фазовых переходов.

Иллюстрация фазового перехода при росте зародышей, которые возникают случайным образом в рассматриваемом объёме.

Основные постулаты

• Неограниченность объёма системы, в которой происходит фазовый переход. Физически это значит, что объём системы много больше объёма образующихся зародышей новой фазы.
• Пуассоновский закон зарождения центров: центры новой фазы возникают в среде случайно и равномерно с некоторой интенсивностью ${\displaystyle I(t)}$ на единицу объёма несконденсировавшейся среды в единицу времени, зависящей в общем случае от времени.
• Принцип геометрического подобия: каждый зародыш независимо от места и даты «рождения» растёт в виде кристаллита определенной, единой для всех зародышей выпуклой формы и ориентации, сохраняющихся во времени.
• Единство скорости роста: в каждый момент времени скорости роста одинаковы для всех имеющихся в этот момент зародышей. В силу этой посылки ${\displaystyle {\dot {R}}}$ не зависит от выбранного зародыша и является функцией только текущего времени ${\displaystyle t}$, то есть ${\displaystyle {\dot {R}}=v(t)}$.

Формула Колмогорова

Обозначим ${\displaystyle q(t)}$ долю в момент ${\displaystyle t}$ несконденсировавшегося объёма по отношению к общему объёму ${\displaystyle V_{0}}$. Тогда формула Колмогорова имеет вид

${\displaystyle q(t)=exp\left[-\int _{0}^{t}I(t')V(R(t',t))dt'\right]}$

где ${\displaystyle V(R(t',t))}$ объём изолированного зародыша, зародившегося в момент времени ${\displaystyle t'}$ и в момент времени ${\displaystyle t}$ имеющего радиус ${\displaystyle R}$. Зная ${\displaystyle q(t)}$, легко вычислить долю сконденсировшегося объёма ${\displaystyle Q(t)}$

${\displaystyle Q(t)=1-q(t)}$

Ограничения

Формула неприменима, например, для случая диффузионного роста зародышей (см. Спинодальный распад). В этом случае она даёт только оценку снизу для ${\displaystyle q(t)}$.

Примечания

1. А. Н. Колмогоров, К статистической теории кристаллизации металлов Архивная копия от 26 октября 2013 на Wayback Machine, Изв. АН СССР Сер. матем., 1(3), 1937, С. 355—359
2. W. A. Johnson, R. F. Mehl^[англ.], Reaction kinetics in processes of nucleation and growth, Trans. AIME, 135, 1939, p. 416