Трёхдиагональная матрица

Не следует путать с матрицей Якоби отображения.

Трёхдиагональной матрицей или матрицей Якоби^[1] называют ленточную матрицу следующего вида:

${\displaystyle {\begin{pmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{pmatrix}},}$

где во всех остальных местах, кроме главной диагонали и двух соседних с ней, стоят нули.

Системы линейных алгебраических уравнений с такими матрицами встречаются при решении многих задач математической физики. Краевые условия ${\displaystyle x_{1}}$ и ${\displaystyle x_{n}}$, которые берутся из контекста задачи, задают первую и последнюю строки. Так, краевое условие первого рода ${\displaystyle F{\bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}}$ определит первую строку в виде ${\displaystyle c_{1}=1}$, ${\displaystyle b_{1}=0}$, а краевое условие второго рода ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial x}}{\Bigl |}_{x=x_{1}}=f_{1}}$ будет соответствовать значениям ${\displaystyle c_{1}=-1}$, ${\displaystyle b_{1}=1}$.

Определитель

Определитель трёхдиагональной матрицы задается следующей рекуррентной формулой^[2]. Положим

${\displaystyle f_{n}={\begin{vmatrix}a_{1}&b_{1}\\c_{1}&a_{2}&b_{2}\\&c_{2}&\ddots &\ddots \\&&\ddots &\ddots &b_{n-1}\\&&&c_{n-1}&a_{n}\end{vmatrix}}}$

для всех n > 1 и f₁ = a₁. Тогда

${\displaystyle f_{n}=a_{n}f_{n-1}-c_{n-1}b_{n-1}f_{n-2},}$

где f₀ = 1 и f_-1 = 0.

Метод прогонки

Основная статья: Метод прогонки

Для решения систем линейных уравнений вида Ax = F, где A — трёхдиагональная матрица, обычно используется метод прогонки.

См. также

• Континуанта
• Список матриц

Примечания

1. Прасолов В. В. Задачи и теоремы линейной алгебры. — М.: Наука, 1996. — ISBN 5-02-014727-3. Архивировано 9 января 2015 года.
2. El-Mikkawy, M. E. A. On the inverse of a general tridiagonal matrix (неопр.) // Applied Mathematics and Computation. — 2004. — Т. 150, № 3. — С. 669—679. — doi:10.1016/S0096-3003(03)00298-4.

Литература

• В.П. Ильин, Ю.И. Кузнецов Трёхдиагональные матрицы и их приложения. - М., Наука, 1985. - 208 c.