Тройное произведение Якоби

Тройное произведение Якоби — это математическое тождество:

${\displaystyle \prod _{m=1}^{\infty }\left(1-x^{2m}\right)\left(1+x^{2m-1}y^{2}\right)\left(1+{\frac {x^{2m-1}}{y^{2}}}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }x^{n^{2}}y^{2n},}$

для комплексных чисел x и y с ${\displaystyle |x|<1}$ и ${\displaystyle y\neq 0}$.

Тождество предложил Карл Густав Якоб Якоби^[1] в труде Fundamenta Nova Theoriae Functionum Ellipticarum (Новые принципы в теории эллиптических функций).

Тождество тройного произведения Якоби является тождеством Макдональда^[англ.] для аффинных корней системы типа A₁ и является формулой Вейля для знаменателей^[англ.] для соответствующей аффинной алгебры Каца-Муди^[англ.].

Свойства

Доказательство Якоби основывается на теореме о пятиугольных числах^[англ.] Эйлера, которая сама является частым случаем тождества тройного произведения Якоби.

Пусть ${\displaystyle x=q{\sqrt {q}}}$ и ${\displaystyle y^{2}=-{\sqrt {q}}}$. Тогда имеем

${\displaystyle \phi (q)=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-q^{m}\right)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }(-1)^{n}q^{\frac {3n^{2}-n}{2}}.}$

Тройное произведение Якоби позволяет также переписать тета-функцию Якоби как бесконечное произведение:

Пусть ${\displaystyle x=e^{i\pi \tau }}$ и ${\displaystyle y=e^{i\pi z}.}$

Тогда тэта-функцию Якоби

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\sum _{n=-\infty }^{\infty }e^{\pi {\rm {i}}n^{2}\tau +2\pi {\rm {i}}nz}}$

можно переписать в виде

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }y^{2n}x^{n^{2}}.}$

Используя тождество тройного произведения Якоби, мы можем записать тэта-функцию как произведение

${\displaystyle \vartheta (z;\tau )=\prod _{m=1}^{\infty }\left(1-e^{2m\pi {\rm {i}}\tau }\right)\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau +2\pi {\rm {i}}z}\right]\left[1+e^{(2m-1)\pi {\rm {i}}\tau -2\pi {\rm {i}}z}\right].}$

Существует много различных обозначений, используемых для выражения тройного произведения Якоби. Оно принимает краткую форму, если его выразить в терминах q-символов Похгаммера:

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }q^{\frac {n(n+1)}{2}}z^{n}=(q;q)_{\infty }\;\left(-{\tfrac {1}{z}};q\right)_{\infty }\;(-zq;q)_{\infty },}$

где ${\displaystyle (a;q)_{\infty }}$ — бесконечный q-символ Похгаммера.

Формула принимает особенно элегантный вид, когда выражается в терминах тета-функции Рамануджана. Для ${\displaystyle |ab|<1}$ её можно переписать как

${\displaystyle \sum _{n=-\infty }^{\infty }a^{\frac {n(n+1)}{2}}\;b^{\frac {n(n-1)}{2}}=(-a;ab)_{\infty }\;(-b;ab)_{\infty }\;(ab;ab)_{\infty }.}$

Доказательство

Для аналитического случая см. книгу Апостола^[2], первое издание которой было опубликовано в 1976. См. также ссылку ниже для доказательства, стимулированного физиками.

Примечания

1. Jacobi, 1829.
2. Apostol, 1976, с. theorem 14.6.

Литература

• Andrews G. E. A simple proof of Jacobi's triple product identity // Proc. Amer. Math. Soc.. — American Mathematical Society, 1965. — Т. 16. — ISSN 0002-9939.
• Tom M. Apostol. chapter 14, theorem 14.6 of // Introduction to analytic number theory. — New York-Heidelberg: Springer-Verlag, 1976. — (Undergraduate Texts in Mathematics). — ISBN 978-0-387-90163-3.
• Peter J. Cameron. Combinatorics: Topics, Techniques, Algorithms. — Cambridge University Press, 1994. — ISBN 0-521-45761-0.
• Jacobi C. G. J. Fundamenta nova theoriae functionum ellipticarum. — Reprinted by Cambridge University Press 2012, language:Latin. — Königsberg: Borntraeger, 1829. — ISBN 978-1-108-05200-9.
• Carlitz L. A note on the Jacobi theta formula // Bull. Amer. Math. Soc.. — American Mathematical Society, 1962. — Т. 68, № 6. — С. 591-592..
• Wright E. M. An Enumerative Proof of An Identity of Jacobi // Journl of the London Mathematical Society. — London Mathematical Society, 1965. — Т. s1-40, вып. 1. — С. 55-57.

Ссылки

• Краткое комбинаторное доказательство тождества, стимулированное физиками.