Теорема Фалеса об угле, опирающемся на диаметр окружности

У этого термина существуют и другие значения, см. Теорема Фалеса.

Теорема об угле, опирающемся на диаметр окружности — классическая теорема планиметрии, частный случай теоремы о вписанном угле.

${\displaystyle \angle ABC}$ — прямой

Формулировка

Плоский угол, опирающийся на диаметр окружности, — прямой.

Использование

Построение касательных с помощью угла, опирающегося на диаметр окружности

Используя свойство угла, опирающегося на диаметр, можно построить касательную к окружности. Пусть дана окружность ${\displaystyle k}$ и точка ${\displaystyle P}$ вне этой окружности. Построим касательные из точки ${\displaystyle P}$ к окружности ${\displaystyle k}$. Соединим центр ${\displaystyle O}$ окружности ${\displaystyle k}$ с точкой ${\displaystyle P}$ и на отрезке ${\displaystyle OP}$, как на диаметре, построим окружность. Две окружности пересекаются по двум точкам — обозначим их ${\displaystyle T}$ и ${\displaystyle T'}$. ${\displaystyle \angle OTP}$ будет прямой, так как вписанный и опирается на диаметр. ${\displaystyle OT}$ — радиус окружности ${\displaystyle k}$, перпендикулярный прямой ${\displaystyle PT}$, пересекающей окружность ${\displaystyle k}$ в точке ${\displaystyle T}$; следовательно, ${\displaystyle PT}$ — касательная. Аналогичные рассуждения можно провести о точке ${\displaystyle T'}$.

Частный случай

• Окружность Фурмана — окружность для данного треугольника с диаметром, равным отрезку прямой, который расположен между ортоцентром и точкой Нагеля.

В литературе

	o se del mezzo cerchio far si puote triangol sì ch'un retto non avesse.		Или можно ли в полукруге построить треугольник, который не имел бы прямого угла.
«Божественная комедия» Данте Алигьери, «Рай», Песнь XIII, строки 101—102. Перевод Владимира Викторовича Чуйко.

См. также

• Вписанный угол
• Окружность
• Теорема Фалеса
• Треугольник
• Фалес Милетский