Теорема Чевы

Теоре́ма Че́вы — классическая теорема аффинной геометрии и геометрии треугольника. Доказана в 1678 году итальянским инженером Джованни Чевой.

Треугольник с чевианами

Формулировка

Определим чевиану как отрезок, соединяющий вершину треугольника с внутренней точкой противоположной стороны.

Три чевианы ${\displaystyle AA',~BB',~CC'}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$ проходят через одну точку тогда и только тогда, когда выполняется равенство:

${\displaystyle {\frac {BA'\cdot CB'\cdot AC'}{A'C\cdot B'A\cdot C'B}}=1}$.

Замечания

Эта теорема является аффинной, то есть она может быть доказана с использованием только свойств, сохраняемых при аффинных преобразованиях.

Вариации и обобщения

Теорема Чевы для точек, лежащих на продолжениях сторон. Чевианы и их основания обозначены зелёным цветом, а точка их пересечения — голубым.

• Эту теорему можно обобщить на случай, когда точки ${\displaystyle A',~B',~C'}$ лежат на продолжениях сторон ${\displaystyle BC,~CA,~AB}$. Для этого надо воспользоваться «отношением направленных отрезков». Оно определено для двух коллинеарных направленных отрезков ${\displaystyle XY}$ и ${\displaystyle ZT}$ и обозначается ${\displaystyle {XY}/{ZT}}$.
  • Пусть ${\displaystyle A',~B',~C'}$ лежат на прямых ${\displaystyle BC,~CA,~AB}$ треугольника ${\displaystyle ABC}$. Прямые ${\displaystyle AA',~BB',~CC'}$ конкурентны (то есть параллельны или пересекаются в одной точке) тогда и только тогда, когда:

${\displaystyle {\frac {BA'}{A'C}}\cdot {\frac {CB'}{B'A}}\cdot {\frac {AC'}{C'B}}=1}$.

• Теорема Понселе. Исходную теорему Чевы можно обобщить на случай многоугольника с нечетным числом сторон. Тогда её называют теоремой Понселе. Она звучит так: прямые, соединяющие какую-нибудь точку с вершинами многоугольника, имеющего нечётное число сторон, образуют на противоположных его сторонах такие отрезки, что произведение отрезков, не имеющих общих концов, равно произведению остальных отрезков (см. п. 23, с 35. в^[1])
• Тригонометрическая теорема Чевы:

  ${\displaystyle {\frac {\sin \angle BAA'}{\sin \angle A'AC}}\cdot {\frac {\sin \angle ACC'}{\sin \angle C'CB}}\cdot {\frac {\sin \angle CBB'}{\sin \angle B'BA}}=1.}$

При этом углы здесь считаются ориентированными, то есть ${\displaystyle \angle XYZ}$ есть угол, на который надо повернуть прямую ${\displaystyle XY}$ против часовой стрелки, чтобы она совпала с прямой ${\displaystyle YZ}$.

О доказательствах

Сам Чева привёл доказательство с помощью геометрии масс, но известны также и другие доказательства:

• методом площадей;
• с помощью геометрии масс;
• двойное применение теоремы Менелая и многие другие.

См. также

• Двойное отношение
• Отношение направленных отрезков
• Пропорциональные отрезки
• Теорема Ван-Обеля о треугольнике
• Теорема Менелая
• Чевиана

Литература

• Балк М. Б., Болтянский В. Г. Геометрия масс. — М.: Наука, 1987. —(Библиотечка «Квант»)).
• Коксетер, Грейтцер. Новые встречи с геометрией.
• Мякишев А. Г. Элементы геометрии треугольника. Серия: «Библиотека „Математическое просвещение“». М.: МЦНМО, 2002.
• Филипповский Г. Б. Теоремы Чевы, Менелая и Ван-Обеля// Математика. Все для учителя! № 9 (21). сентябрь. 2012. с. 7-19// https://yagubov.su/MATH2/06K/06615Z.pdf
• Понарин Я. П. Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 66—68. — ISBN 5-94057-170-0.
• Шаль, Мишель. О сочинении Чевы, под заглавием: De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio (in — 4°, Milan, 1678). // Исторический обзор происхождения и развития геометрических методов. Т. 2. М., 1883.
• Giovanni Ceva. De lineis rectis se invicem secantibus, statica constructio Milan, 1678.