Теорема Харкорта

Теорема Харкорта — это формула в геометрии для площади треугольника как функции длин сторон и расстояний от вершин треугольника до произвольной прямой, касательной к вписанной в треугольник окружности^[1].

Теорема Харкорта

Теорема названа именем Дж. Харкорта, ирландского профессора^[2].

Утверждение

Пусть треугольник задан своими вершинами A, B и C, противоположные вершинам стороны имеют длины a, b и c, площадь равна K и прямая касается вписанной в треугольник окружности в произвольной точке. Обозначим расстояния от вершин треугольника до прямой через a ', b ' и c ', при этом, если вершина и центр окружности лежат по разные стороны от прямой, расстояние считается отрицательным. Тогда

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

Вырожденный случай

Если касательная прямая содержит одну из сторон треугольника, то два расстояния равны нулю и формула упрощается до формулы треугольника — удвоенная площадь равна произведению основания на высоту.

Обобщение

• Если прямая касается вневписанной окружности противоположной, скажем, вершине A треугольника, то^[3]

${\displaystyle -aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K.}$

• Если на касательную к кругу радиуса x, концентрическому с вписанным кругом, опустить из вершин треугольника перпендикуляры ${\displaystyle d_{A},d_{B},d_{C}}$, то ^[4].

${\displaystyle ad_{A}+bd_{B}+cd_{C}\ =2px}$.

• В частности, если x=r, где r -радиус вписанного круга, то мы имеем теорему Харкорта.

Свойство двойственности

Если a', b', c' вместо расстояния до произвольной касательной к вписанной окружности обозначают расстояния от сторон до произвольной точки, равенство

${\displaystyle aa^{\prime }+bb^{\prime }+cc^{\prime }=2K}$

остаётся верным^[5].

Примечания

1. Dergiades, Salazar, 2003, с. 117—124.
2. G.-M., 1912, с. 750.
3. Dergiades, Salazar, 2003, Thm.3.
4. Зетель С. И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М.: Учпедгиз, 1962. Следствие на с. 43.
5. Whitworth, 2012, с. 11.

Литература

• Nikolaos Dergiades, Juan Carlos Salazar. Harcourt's theorem // Forum Geometricorum. — 2003. — Т. 3.
• F. G.-M. Exercises de géométrie: comprenant l'exposé des méthodes géométriques et 2000 questions résolues (неопр.). — edition=5th. — Maison A. Mame et fils (Tours) & J. de Gigord (Paris), 1912. — (Cours de mathématiques elementaires).
• William Allen Whitworth. Trilinear Coordinates and Other Methods of Modern Analytical Geometry of Two Dimensions. — 2012. — (Forgotten Books (orig. Deighton, Bell, and Co., 1866).).