Теорема Фогта

Теорема Фогта устанавливает соотношения между граничными углами плоской кривой с монотонно изменяющейся кривизной (спиральной дуги) в зависимости от возрастания / убывания кривизны.

Рис. 1. Теорема Фогта (слева — в оригинальной формулировке)

Названа в честь немецкого математик Вольфганга Фогта (Wolfgang Wilhelm Vogt, 1883—1916).

Формулировка В. Фогта

В оригинальной статье^[1] (Satz 12) теорема сформулирована так:

Пусть ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ – две последовательные точки пересечения кривой с монотонной кривизной и прямой ${\displaystyle g}$, ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ — углы между хордой ${\displaystyle AB}$ и касательными лучами в точках ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$, лежащими с той же стороны от ${\displaystyle g}$, что и дуга ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$. Тогда угол ${\displaystyle \alpha }$ больше, меньше, или равен ${\displaystyle \beta }$, соответственно тому, возрастает ли кривизна от ${\displaystyle A}$ до ${\displaystyle B}$, убывает ли, или остаётся постоянной.

В статье^[1] (как и в монографии^[2], Theorem 3-17) рассматриваются только выпуклые кривые^[3] с непрерывной кривизной ${\displaystyle k(s)}$. Требование выпуклости означает знакопостоянство кривизны (отсутствие у кривой точки перегиба). По сути, в этой формулировке речь идёт об абсолютных величинах кривизны ${\displaystyle |k(s)|}$ и углов ${\displaystyle |\alpha |,\,|\beta |}$. Другие доказательства этой теоремы в тех же предположениях даны в статьях^[4], ^[5], ^[6].

Теорему иллюстрирует левая колонка рисунка 1.

Модифицированная формулировка теоремы

Модифицированная версия теоремы Фогта (см.^[7], теорема 1)

• рассматривает углы ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ как ориентированные, измеренные относительно направления хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AB}}}$;
• формулируется с учётом естественного знака кривизны (в смысле ${\displaystyle k(s)={\frac {\mathrm {d} \tau }{\mathrm {d} s}},}$ где ${\displaystyle \tau (s)}$ — угол наклона касательной к кривой);
• не требует непрерывности и знакопостоянства кривизны;
• распространяется не только на выпуклые спиральные дуги, но и на все короткие спирали — те, которые не закручиваются вокруг концевых точек, то есть не пересекают дополнение хорды до бесконечной прямой (хотя могут пересекать саму хорду, как кривая ${\displaystyle A_{6}B_{6}}$ на рис. 1).

Формулировка:

Пусть ${\displaystyle k_{1}}$ — кривизна короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ в начальной точке ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle k_{2}}$ — её кривизна в конечной точке ${\displaystyle B}$. Тогда

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}(\alpha +\beta ),\qquad \qquad (1)}$

или, подробнее, для случаев возрастающей и убывающей кривизны,

${\displaystyle {\begin{array}{llcc}{\text{если}}\quad k_{1}<k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta >0,\quad &-\pi <\alpha \leq \pi ,\;&-\pi <\beta \leq \pi$ ;\\{\text{если}}\quad k_{1}>k_{2}{:}\quad &\alpha {+}\beta <0,\quad &-\pi \leq \alpha <\pi ,\;&-\pi \leq \beta <\pi .\end{array}}\qquad \qquad (2)}

Правая колонка рисунка 1 иллюстрирует модифицированную версию теоремы Фогта (для случая убывающей кривизны). К примеру, кривые ${\displaystyle A_{1}B_{1}}$ и ${\displaystyle A_{4}B_{4}}$ на рис. 1 одинаковы и имеют отрицательную убывающую кривизну: ${\displaystyle 0>k_{1}>k_{2}}$. Неравенства Фогта, ${\displaystyle k_{1}<k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha >\beta ,}$ подразумевают ${\displaystyle |k_{1}|<|k_{2}|\;\Rightarrow \;|\alpha |>|\beta |,}$ что, с учётом знаков кривизн и ориентированных углов, означает ${\displaystyle {-k_{1}}<{-k_{2}}\;\Rightarrow \;\alpha >{-\beta },}$ или ${\displaystyle k_{1}>k_{2}\;\Rightarrow \;\alpha +\beta <0,}$ в соответствии с (1).

Отразив кривые 4-7 симметрично относительно хорды (что влечёт смену знаков у ${\displaystyle k_{1},k_{2},\alpha ,\beta }$), получим примеры с возрастающей кривизной.

Геометрический смысл суммы α + β {\displaystyle \alpha +\beta }

Рис. 2. Линза спиральной дуги AB

Пусть по короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ движется точка от ${\displaystyle A}$ к ${\displaystyle B.}$ Для каждого положения ${\displaystyle P(s)}$ подвижной точки построим круговую дугу ${\displaystyle {\overset {\frown }{APB}}}$ (рис. 2). Угол наклона касательной к этой дуге в точке ${\displaystyle A}$ обозначим ${\displaystyle \varphi (s)}$.

• Функция ${\displaystyle \varphi (s)}$ строго монотонна; ${\displaystyle \lim \limits _{P\to A}\varphi (s)=\alpha ,}$ ${\displaystyle \lim \limits _{P\to B}\varphi (s)=-\beta .}$
• Дуги ${\displaystyle {\overset {\frown }{APB}}}$ заметают линзу — область, ограниченную двумя круговыми дугами, опирающимися на хорду ${\displaystyle AB}$, одна из которых имеет со спиралью общую касательную в точке ${\displaystyle A}$, вторая — в точке ${\displaystyle B.}$
• Любая короткая спираль с граничными углами ${\displaystyle \alpha }$ и ${\displaystyle \beta }$ заключена внутри линзы (теорема 2 в^[7]).
• Сумма ${\displaystyle \sigma =\alpha +\beta }$ равна по модулю угловой ширине линзы, а её знак соответствует возрастанию${\displaystyle {}^{(+)}}$/ убыванию${\displaystyle {}^{(-)}}$ кривизны.

Обобщение теоремы

Рис. 3.

Дальнейшее обобщение теоремы Фогта касается сколь угодно закрученных спиралей, для чего углы ${\displaystyle \alpha ,\,\beta }$ переопределяются в кумулятивном смысле, как «углы, помнящие свою историю».

Рассмотрим на спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}}}$ длины ${\displaystyle S}$ точку ${\displaystyle P(s)}$, движущуюся от ${\displaystyle A=P(0)}$ к ${\displaystyle B=P(S)}$. Для достаточно малой (короткой) дуги ${\displaystyle {\overset {\frown }{AP}}(s)}$ значения граничных углов ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$, измеренных относительно направления подвижной хорды ${\displaystyle {\overrightarrow {AP}}(s),}$ близки к нулю, и при удалении точки ${\displaystyle P}$ от ${\displaystyle A}$ они могут достичь значений ${\displaystyle \pm \pi .}$ Договоримся о сохранении непрерывности функций ${\displaystyle \alpha (s)}$ и ${\displaystyle \beta (s)}$ при достижении значений, кратных ${\displaystyle \pi .}$ Обозначим

${\displaystyle {\widetilde {\alpha }}=\alpha (S),\quad {\widetilde {\beta }}=\beta (S).}$

Так, на рис. 3 угол ${\displaystyle \beta (s)}$ достигает значения ${\displaystyle +\pi }$, когда точка ${\displaystyle P(s)}$ достигает положения ${\displaystyle P_{8}}$, после чего ${\displaystyle \beta (s)>\pi }$.

В статье^[8] (теорема 1) показано, что сумма ${\displaystyle \sigma (s)=\alpha (s)+\beta (s)}$ есть монотонная функция длины дуги, возрастающая или убывающая как и кривизна ${\displaystyle k(s)}$. Функция ${\displaystyle \sigma (s)}$ строго монотонна, за исключением начального участка постоянной кривизны (если таковой имеется), в пределах которого ${\displaystyle \sigma (s)\equiv 0.}$ Тем самым формулировка (1) распространяется и на длинные спирали в виде

${\displaystyle \operatorname {sgn}(k_{2}-k_{1})=\operatorname {sgn}({\widetilde {\alpha }}+{\widetilde {\beta }}).}$

Связанные утверждения^[8]:

При дробно-линейном отображении спирали значение ${\displaystyle \sigma }$ сохраняется.

Вариация поворота спирали ограничена неравенствами ${\displaystyle |\sigma |<\mathrm {Var} \,\tau (s)<|\sigma |+2\pi }$ и остаётся в этих пределах при инверсии спирали.

Обратная теорема

В качестве утверждения, обратного теореме Фогта, А. Островский формулирует условия, допускающие существование (выпуклой) спиральной дуги с заданными граничными углами^[6]. В «ориентированном» варианте они принимают вид неравенств (2).

В^[2] (theorem 3-18) сформулированы усиленные условия для случая, когда дополнительно к углам заданы значения граничных радиусов кривизны.

В^[7] (теорема 3) эти условия распространены на короткие (и не только выпуклые) спирали: Для существования короткой спирали ${\displaystyle {\overset {\frown }{AB}},}$ отличной от бидуги, с граничными углами ${\displaystyle \alpha ,\;\beta }$ и кривизнами ${\displaystyle k_{1},\;k_{2}}$ необходимо и достаточно выполнения условий (2) и неравенства ${\displaystyle Q<0}$, где

${\displaystyle Q=(k_{1}c+\sin \alpha )(k_{2}c-\sin \beta )+\sin ^{2}{\frac {\alpha {+}\beta }{2}},\quad c={\frac {1}{2}}|AB|\,.\qquad \qquad (3)}$

Если спираль является бидугой, то ${\displaystyle Q=0\,.}$

Пояснение и пример построения

Рис. 4. Варианты взаимного расположения ориентированных окружностей

Пусть ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$ — граничные круги кривизны спиральной дуги ${\displaystyle AB}$, ${\displaystyle \psi }$ — их угол пересечения. Тогда ${\displaystyle Q=\sin ^{2}{\frac {\psi }{2}},}$ а неравенство ${\displaystyle Q<0}$ означает, что угол ${\displaystyle \psi }$ чисто мнимый. Это, в свою очередь, можно интерпретировать следующим образом: круги ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$ не имеют общих точек и расположены так, что при сближении их пересечению будет предшествовать касание — совпадение ориентированных касательных в общей точке.

Неравенство ${\displaystyle Q<0}$ выполнено для любой пары зелёных окружностей на Рис. 4. Произвольно выбрав начальную точку ${\displaystyle A}$ на одной из них и конечную точку ${\displaystyle B}$ на другой, можно построить спиральную дугу, для которой окружности ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$ будут граничными кругами кривизны. Пример такого построения показан на фрагменте ${\displaystyle Q=-0.88}$ рисунка 4 точечной линией (${\displaystyle |AB|=2c=2,}$ ${\displaystyle \alpha \approx -78.34^{\circ },}$ ${\displaystyle k_{1}\approx 1.73,}$ ${\displaystyle \beta \approx -38.34^{\circ },}$ ${\displaystyle k_{2}\approx -2.76}$).

Любые две синие окружности касаются, и для них ${\displaystyle Q=0\;(\psi =0).}$ Для выбранных на фрагменте ${\displaystyle Q=0}$ точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ единственная возможная спиральная дуга представляет собой бидугу ${\displaystyle AB}$ (изображена точками) и совпадает с окружностями ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{A}}$ и ${\displaystyle {\mathcal {K}}_{B}}$.

Для любой пары пересекающихся (коричневых) окружностей построение спирали с такими кругами кривизны невозможно. Невозможно оно и для пар красных окружностей: у них либо ${\displaystyle Q=1}$ (${\displaystyle \psi =\pm \pi }$, «противокасание»), либо ${\displaystyle Q>1.}$

Значение ${\displaystyle Q}$ (3) не зависит от выбора точек ${\displaystyle A}$ и ${\displaystyle B}$ на окружностях и может быть выражено, например, через их кривизны и межцентровое расстояние ${\displaystyle L}$:

${\displaystyle k_{1}k_{2}\neq 0\quad \Longrightarrow \quad Q={\frac {(k_{1}k_{2}L)^{2}-(k_{2}{-}k_{1})^{2}}{4k_{1}k_{2}}}.}$

Задача построения спиральной дуги с заданными граничными условиями на концах в последние десятилетия активно обсуждается в CAD-приложениях (см., например, статьи^[9] и^[10]).