Теорема Ройшле

Теорема Ройшле описывает свойства чевиан треугольника, пересекающихся в одной точке. Теорема названа именем немецкого математика Карла Густава Ройшле (1812—1875). Известна также как теорема Теркема по имени французского математика Олри Теркема (1782—1862), опубликовавшего её в 1842 году.

Теорема Ройшле:
чевианы ${\displaystyle AP_{a}}$, ${\displaystyle AP_{b}}$ и ${\displaystyle AP_{c}}$ пересекаются в точке ${\displaystyle D}$
${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle AP'_{b}}$ и ${\displaystyle AP'_{c}}$ пересекаются в ${\displaystyle D'}$

Утверждение теоремы

В треугольнике ${\displaystyle ABC}$ с тремя чевианами, пересекающимися в общей точке, отличной от вершин ${\displaystyle A}$, ${\displaystyle B}$, ${\displaystyle C}$, обозначим ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$ пересечения продолженных сторон треугольника и чевиан. Окружность, проходящая через три точки ${\displaystyle P_{a}}$, ${\displaystyle P_{b}}$ и ${\displaystyle P_{c}}$ пересекает продолжения сторон треугольника в точках ${\displaystyle P'_{a}}$, ${\displaystyle P'_{b}}$ и ${\displaystyle P'_{c}}$. Теорема Ройшле утверждает, что эти три новые чевианы ${\displaystyle AP'_{a}}$, ${\displaystyle BP'_{b}}$ и ${\displaystyle CP'_{c}}$ пересекаются также в одной точке.

Частный случай. Пример теоремы Ройшле

• Для окружности девяти точек, которая, в числе прочих, носит и название «окружность Теркема», Теркем доказал теорему Теркема^[1]. Она утверждает, что если окружность девяти точек пересекает стороны треугольника или их продолжения в 3 парах точек (в 3 основаниях соответственно высот и медиан), являющихся основаниями 3 пар чевиан, то, если 3 чевианы для 3 из этих оснований пересекаются в 1 точке (например 3 медианы пересекаются в 1 точке), то 3 чевианы для 3 других оснований также пересекаются в 1 точке (то есть 3 высоты также обязаны пересечься в 1 точке).

Примечания

1. Дмитрий Ефремов. Новая геометрия треугольника Архивная копия от 25 февраля 2020 на Wayback Machine. Одесса, 1902. С. 16.

Литература

• Mathematische Unterhaltungen / Friedrich Riecke. — Stuttgart, 1867 (reprint Wiesbaden 1973). — Т. I. — С. 125. — ISBN 3-500-26010-1. (немецкий язык)
• M. D. Fox, J. R. Goggins. Cevian Axes and Related Curves // The Mathematical Gazette. — 2007. — Т. 91, № 520. — С. 3—4.

Ссылки

• Terquem’s theorem at cut-the-knot.org
• Weisstein, Eric W. Cyclocevian Conjugate (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.