Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году^[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного ${\displaystyle f(x)}$, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, существует такая функция действительного переменного ${\displaystyle g(x)}$, также принадлежащая ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, что

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0}$.

Также выполняются равенства:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}dx}$

и

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0}$.

Функция ${\displaystyle g(u)}$, являющаяся преобразованием Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль^[2].

См. также

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)