Теорема Планшереля

Теорема Планшереля — утверждение о свойствах преобразования Фурье. Она утверждает, что для всякой функции, квадрат модуля которой интегрируем, существует и однозначно определена с точностью до значений на множестве меры нуль функция, являющаяся её преобразованием Фурье. Была доказана Планшерелем в 1910 году^[1]. Играет важную роль в функциональном анализе.

Формулировка

Для всякой функции действительного переменного ${\displaystyle f(x)}$, принадлежащей множеству функций, чей квадрат модуля интегрируем ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, существует такая функция действительного переменного ${\displaystyle g(x)}$, также принадлежащая ${\displaystyle L^{2}}$ на интервале ${\displaystyle \left(-\infty ,\infty \right)}$, что

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}f(x)e^{iux}dx\right|^{2}du=0}$.

Также выполняются равенства:

${\displaystyle \int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|g(u)\right|^{2}du=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)\right|^{2}dx}$

и

${\displaystyle \lim _{A\to \infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }\left|f(x)-{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\int \limits _{-A}^{A}g(u)e^{-iux}du\right|^{2}dx=0}$.

Функция ${\displaystyle g(u)}$, являющаяся преобразованием Фурье функции ${\displaystyle f(x)}$, однозначно определена с точностью до её значений на множестве меры нуль ^[2].

См. также

• Преобразование Фурье
• Lp (пространство)

Примечания

1. Plancherel, Michel; Mittag-Leffler (1910), "Contribution à l'étude de la représentation d'une fonction arbitraire par les intégrales définies", Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo, 30 (1): 289—335, doi:10.1007/BF03014877
2. Н. Винер, Р. Пэли Преобразование Фурье в комплексной области. — М., Наука, 1964. — с. 10-11

Литература

• C. Бохнер Лекции об интегралах Фурье. — М., Физматлит, 1962. — 360 c.