Теорема Вика для функционального интеграла

Теорема Вика для функционального интеграла — это обобщение теоремы Вика для многочлена от координат многомерного Гауссового вектора на случай континуального распределения Гаусса. Широко используется в аппарате функциональных интегралов.

Формулировка

Теорема.

Пусть случайное поле ${\displaystyle \varphi (X)}$ отвечает континуальному распределению Гаусса с нулевым матожиданием, то есть ${\displaystyle \langle \varphi (X)\rangle =0}$. Тогда для средних значений произведений величин вида ${\displaystyle \varphi _{i}=\varphi (X_{i})}$ верно следующее:

${\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \ldots \cdot \varphi _{N}\rangle =\sum \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle ,}$

если ${\displaystyle N}$ чётное, и

${\displaystyle \langle \prod _{i\in I}\varphi _{i}\rangle =0,}$

если ${\displaystyle N}$ нечётное.

Под ${\displaystyle \langle \varphi _{i_{1}}\varphi _{j_{1}}\rangle \cdot \ldots \cdot \langle \varphi _{i_{N/2}}\varphi _{j_{N/2}}\rangle }$ подразумевается разбиение множества ${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}$ на ${\displaystyle N/2}$ пар ${\displaystyle (i_{k},j_{k})}$, суммирование же идёт по всем возможным различным разбиениям ${\displaystyle \{1,\ldots ,N\}}$ на такие пары.

Примеры

Для произведения 4 элементов: ${\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle =\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle \cdot \langle \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{3}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{4}\rangle +\langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{4}\rangle \cdot \langle \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\rangle }$.

Для произведения 6 элементов:

${\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\cdot \varphi _{3}\cdot \varphi _{4}\cdot \varphi _{5}\cdot \varphi _{6}\rangle =\sum \langle \varphi _{i}\cdot \varphi _{j}\rangle \cdot \langle \varphi _{k}\cdot \varphi _{l}\rangle \cdot \langle \varphi _{m}\cdot \varphi _{n}\rangle }$,

причём суммирование производится по всем возможным спариваниям ${\displaystyle (i,j),(k,l),(m,n)}$ выбранным из множества ${\displaystyle \{1,2,3,4,5,6\}}$, например, ${\displaystyle (1,3),(2,5),(4,6)}$ или ${\displaystyle (1,5),(2,4),(3,6)}$ (всего таких спариваний 15).

Аналогично для случаев 8 и более элементов

Использование

Известно, что если Гауссова плотность распределения описывается формулой

${\displaystyle \rho \left[\varphi \right]=C\exp \left\{-{\frac {\varphi K\varphi }{2}}\right\}}$,

то

${\displaystyle \langle \varphi _{1}\cdot \varphi _{2}\rangle =\langle \varphi (X_{1})\cdot \varphi (X_{2})\rangle =K^{-1}(X_{1},X_{2})}$.

То есть любую корреляционную функцию ${\displaystyle G(X_{1},\ldots ,X_{N})=\langle \varphi (X_{1}),\ldots ,\varphi (X_{N})\rangle }$ можно по теореме Вика выразить через комбинации ${\displaystyle K^{-1}}$, то есть, например

${\displaystyle G(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})=K^{-1}(X_{1},X_{2})\cdot K^{-1}(X_{3},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{3})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{4})+K^{-1}(X_{1},X_{4})\cdot K^{-1}(X_{2},X_{3})}$.

См. также

• Континуальное распределение Гаусса
• Производящий функционал
• Функциональный интеграл

Литература

• Васильев А. Н. Квантовополевая ренормгруппа в теории критического поведения и стохастической динамике. — Издательство Петербургского института ядерной физики (ПИЯФ), 1998. — ISBN 5-86763-122-2.