Loading AI tools
Из Википедии, свободной энциклопедии
Теорема Вейля о равномерном распределении формулирует критерий равномерной распределённости бесконечной последовательности вещественных чисел из отрезка .
Теорема была доказана в 1914 и опубликована в 1916 году Германом Вейлем.[1][2]
Пусть — бесконечная последовательность вещественных чисел из интервала
Для чисел обозначим через количество чисел из , лежащих в отрезке .
Определим предельное наибольшее отклонение как .
Последовательность называется равномерно распределённой в если . Иными словами, последовательность равномерно распределённа в если в любом ненулевом отрезке доля элементов, попадающих в этот отрезок, стремится к доле размера отрезка в .
Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любой интегрируемой по Риману на отрезке функции выполняется тождество: |
Очевидно, что утверждение о равномерной распределённости эквивалентно выполнению тождества для кусочно-постоянных функций вида . Это сразу обеспечивает следствие равномерности из выполнения тождества для всех функций.
Более того, в случае равномерной распределённости последовательности, с помощью композиции таких функций и соответствующих умножений (на константу) и сложений пределов и интегралов можно доказать выполнение тождества для любой кусочно-постоянной функции.
Так как любая интегрируемая по Риману функция может быть с точностью до величины интеграла аппроксимирована кусочно-постоянной функцией (причём такой, что ) для , то
Так как по определению следует , то для достаточно больших будет выполнено
Так как в эти рассуждения можно подставить сколь угодно малое , то это и означает, что
Теорема Вейля позволяет вывести прямую связь равномерности распределения с тригонометрическими суммами.[2]
Последовательность равномерно распределена в тогда и только тогда, когда для любого целого выполнено |
Доказательство последнего утверждения проводится аналогично доказательству основной теоремы (см. выше), только вместо аппроксимации кусочно-линейной функцией используется аппроксимация частичными суммами ряда Фурье.
Константа в формуле фактически является значением интеграла .
Благодаря формулировке теоремы, использующей тригонометрические суммы, легко вывести следующий результат:
Обозначим через дробную часть числа Если — иррациональное число, то последовательность равномерно распределена в . |
Для доказательства через критерий равномерности в тригонометрической форме достаточно оценить модуль тригонометрической суммы при иррациональном и целом . Для этого можно воспользоваться простейшей формулой суммы геометрической прогрессии.
Так как величина не зависит от , то при каждом отдельном фиксированном из неравенства выше следует
Seamless Wikipedia browsing. On steroids.
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.
Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.