Теорема Белого

Теорема Белого — фундаментальное утверждение в алгебраической геометрии: любая неособая алгебраическая кривая ${\displaystyle C}$, определённая алгебраическими коэффициентами, представляет компактную риманову поверхность^[англ.], которая является разветвлённым покрытием^[англ.] сферы Римана с ветвлением лишь в трёх точках. Установлена Геннадием Белым^[англ.] в 1979 году; результат оказался неожиданным, и в связи с ним Гротендиком было создано новое направление в алгебраической геометрии — теория детских рисунков^[англ.], описывающая с помощью комбинаторики неособые алгебраические кривые над алгебраическими числами.

Из теоремы следует, что рассматриваемая риманова поверхность может пониматься как ${\displaystyle H/\Gamma }$, где ${\displaystyle H}$ — верхняя полуплоскость, а ${\displaystyle \Gamma }$ — подгруппа с конечным индексом в модулярной группе, компактифицированная путём добавления каспов. Поскольку модулярная группа имеет неконгруэнтные подгруппы^[англ.], отсюда не вытекает, что любая такая кривая является модулярной кривой.

Функция Белого — голоморфное отображение из компактной римановой поверхности ${\displaystyle S}$ в комплексную проективную прямую ${\displaystyle P^{1}\mathbb {C} }$, разветвляющееся лишь над тремя точками, которые после преобразования Мёбиуса могут считаться точками ${\displaystyle \{0,1,\infty \}}$. Функции Белого можно описать комбинаторно с помощью детских рисунков^[англ.]. При этом функции Белого и детские рисунки встречаются в работах Феликса Клейна 1879 года^[1], где применены для изучения 11-кратного накрытия комплексной проективной прямой с группой монодромии^[англ.] PSL(2,11)^[2].

Теорема Белого является теоремой существования функций Белого и активно используется в исследованиях по обратной задаче Галуа.

Примечания

1. Klein, 1879.
2. le Bruyn, 2008.

Литература

• Jean-Pierre Serre. Lectures on the Mordell-Weil theorem / Translated from the French by Martin Brown from notes by Michel Waldschmidt. — Third. — Friedr. Vieweg & Sohn, Braunschweig, 1997. — (Aspects of Mathematics). — ISBN 3-528-28968-6. — doi:10.1007/978-3-663-10632-6.
• Felix Klein. Über die Transformation elfter Ordnung der elliptischen Functionen // Mathematische Annalen. — 1879. — Т. 15, вып. 3—4. — С. 533–555. — doi:10.1007/BF02086276.
• Белый Г. В. О расширениях Галуа максимального кругового поля // Известия АН СССР, серия математическая. — 1979. — Т. 43, вып. 2. — С. 267–276.
• Белый Г. В. Новое доказательство теоремы о трех точках // Математический сборник. — 2002. — Т. 193, № 3. — С. 21—24.
• Lieven le Bruyn. Klein’s dessins d’enfant and the buckyball. — 2008.

• Ernesto Girondo, Gabino González-Diez. Introduction to compact Riemann surfaces and dessins d'enfants. — Cambridge: Cambridge University Press, 2012. — Т. 79. — (London Mathematical Society Student Texts). — ISBN 978-0-521-74022-7.
• Wushi Goldring. Unifying themes suggested by Belyi's Theorem // Number Theory, Analysis and Geometry. In Memory of Serge Lang / Dorian Goldfeld, Jay Jorgenson, Peter Jones, Dinakar Ramakrishnan, Kenneth A. Ribet, John Tate. — Springer, 2012. — С. 181–214. — ISBN 978-1-4614-1259-5.