Теорема Адамара о вложении

Теорема Адамара о вложении — одно из классических утверждений дифференциальной геометрии поверхностей.

История

Теорема приписывается Жаку Адамару; хотя в его статье ^[1] теорема не сформулирована, её можно получить несложным дополнительным рассуждением. Точная формулировка и обобщения были даны Джеймсом Стокером, он же приписывает этот результат Адамару. Дальнейшие обобщения были даны Стефани Александер, Михаилом Леонидовичем Громовым и другими.

Формулировка

Если погруженная поверхность в евклидовом пространстве является замкнутой, гладкой, регулярной и имеет положительную гауссову кривизну, то она является вложенной сферой и ограничивает выпуклое тело.

Вариации и обобщения

• Открытые поверхности также вложены и ограничивают выпуклое множество.^[2]

• Результат верен для локально выпуклых гиперповерхностей в n-мерном евклидовом простратстве, а также в пространствах Адамара. Последнее было доказано Стефани Александер.^[3]

• Локально выпуклая гиперповерхность, погруженная в полное многообразие с положительной секционной кривизной, является границей погруженного шара.^[4]