Теорема Адамара о вложении

Теорема Адамара о вложении — одно из классических утверждений дифференциальной геометрии поверхностей.

История

Теорема приписывается Жаку Адамару; хотя в его статье ^[1] теорема не сформулирована, её можно получить несложным дополнительным рассуждением. Точная формулировка и обобщения были даны Джеймсом Стокером, он же приписывает этот результат Адамару. Дальнейшие обобщения были даны Стефани Александер, Михаилом Леонидовичем Громовым и другими.

Формулировка

Если погруженная поверхность в евклидовом пространстве является замкнутой, гладкой, регулярной и имеет положительную гауссову кривизну, то она является вложенной сферой и ограничивает выпуклое тело.

Вариации и обобщения

• Открытые поверхности также вложены и ограничивают выпуклое множество.^[2]

• Результат верен для локально выпуклых гиперповерхностей в n-мерном евклидовом простратстве, а также в пространствах Адамара. Последнее было доказано Стефани Александер.^[3]

• Локально выпуклая гиперповерхность, погруженная в полное многообразие с положительной секционной кривизной, является границей погруженного шара.^[4]

Примечания

1. пункт 23 в J. Hadamard. “Sur certaines propriétés des trajectoires en dynamique”. J. math. pures appl. 3 (1897), pp. 331–387.
2. J. Stoker. Über die Gestalt der positiv gekrümmten offenen Flächen im dreidimensionalen Raume (нем.) // Compositio Math. — 1936. — Bd. 3. — S. 55–88. Архивировано 27 ноября 2018 года.
3. Alexander, S. Locally convex hypersurfaces of negatively curved spaces. Proc. Amer. Math. Soc. 64 (1977), no. 2, 321–325.
4. Громов М. Знак и геометрический смысл кривизны. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2000. — 128 с. — ISBN 5-93972-020-X.