Remove ads

Равноме́рно темпери́рованный строй, равномерная темперация (нем. gleichschwebende Temperatur, gleichschwebende Stimmung) — темперированный музыкальный строй, в котором каждая октава делится на математически равные интервалы, в наиболее типичном случае — на двенадцать полутонов, каждый из которых равен . Такой строй господствует в европейской профессиональной музыке (академической и эстрадной) начиная с XVIII века до наших дней. Важным преимуществом равномерной темперации является возможность транспонирования пьесы на произвольный интервал.

Remove ads

Исторический очерк

Равномерно темперированный строй возник в обстановке поисков учёными разных специальностей «идеального» для музыки строя. Исторически предшествующие чистый и среднетоновый строи не позволяли транспонировать и модулировать в отдалённые тональности без того, чтобы в консонирующих созвучиях — прежде всего, в трезвучиях и их обращениях — не возникал резкий акустический диссонанс.

Непосредственным предшественником равномерно темперированного строя в Европе был «хорошо темперированный» строй — семейство неравномерных темпераций, позволявших более или менее успешно (с разной степенью «акустической чистоты») играть в любой из тональностей. Одним из теоретиков и пропагандистов[1] такого строя был Андреас Веркмейстер. Многие исследователи разделяют мнение, что «Хорошо темперированный клавир» Иоганна Себастьяна Баха, хорошо знакомого с работами Веркмейстера, написан для инструментов именно с такой неравномерной темперацией[2].

Невозможно с достоверностью указать, кто именно «изобрёл» равномерную темперацию. Среди первых её теоретиков называют Генриха Грамматеуса (1518), Винченцо Галилея (1581) и Марена Мерсенна. Симон Стевин в своём труде «О теории певческого искусства» (ок. 1585) дал математически точный расчёт равномерной темперации. Написанная на родном языке Стевина (фламандском) его работа не получила резонанса; посмертная слава пришла к Стевину спустя 300 лет, в 1884 году, когда она была опубликована и затем переведёна на другие языки.

Одним из первых авторов, давших теоретическое обоснование 12-ступенной равномерной темперации, был китайский принц Чжу Цзайюй (朱載堉), в трактате 1584 года[3]. Однако, какое практическое значение расчёты принца имели для западной музыкально-теоретической традиции, неизвестно.

У нового строя были свои оппоненты (например, Джузеппе Тартини) и свои пропагандисты (особенно Иоганн Георг Нейдхардт). Равномерно темперированный строй вызывал отклонения от акустической («природной») чистоты созвучий, в результате в них появились небольшие биения. По мнению одних, эти нарушения чистоты были незначительной потерей, особенно с учётом новых возможностей, которые такой строй давал развитию тональной гармонии. Другие же рассматривали потерю «природной» чистоты как посягательство на «чистоту» музыки.

Противоречивость эстетических критериев (природная чистота против модуляционной свободы и неограниченной транспозиции) отражалась в трудах теоретиков музыки. Так, Веркмейстер утверждал, что в новом строе все аккорды (подразумевались прежде всего трезвучия) приобретают монотонную симметрию, в то время как в «хороших» строях каждый аккорд имел своё неповторимое (акустическое) звучание. С другой стороны, он же в позднем трактате «Musikalische Paradoxal-Discourse» (1707) в полемике с Нейдхардтом защищал свой приоритет в «изобретении» равномерно темперированного строя. Уже в XVIII веке идея свободного развёртывания тональности одержала верх над идеей природной «акустической» чистоты. В академической и эстрадной музыке равномерная темперация получила мировое признание и стала фактическим стандартом музыкального строя.

Remove ads

Вычисление частот звуков

Можно математически вычислить частоты для всего звукоряда, пользуясь формулой:

,

где f0 — частота камертона (например Ля 440 Hz), а i — количество полутонов в интервале от исследуемого звука к эталону f0.

Последовательность вычисленных таким образом частот образует геометрическую прогрессию:

например, можно вычислить частоту звука на тон (2 полутона) ниже от камертона Ля — ноты соль:
если надо вычислить частоту ноты Соль, но на октаву (12 полутонов) выше:

Частоты двух полученных нот Соль отличаются в два раза, что дает чистую октаву.

Remove ads

Сравнение с натуральным строем

Равномерно темперированный строй можно отобразить в виде значений интервалов в центах:

Подробнее Тон, Цент ...
Тон C1CDD♯EFFGGAABC2
Цент 0100200300400500600700800900100011001200
Закрыть

Следующая таблица показывает количественные отличия интервалов равномерно темперированного ряда от натуральных интервалов:

Подробнее , ...
Интервал Равномерно темперированные интервалы Натуральные интервалы Разница в центах
Прима центов центов 0
Малая секунда центов центов −11,73
Большая секунда центов центов −3,91
Малая терция центов центов −15,64
Большая терция центов центов 13,69
Кварта центов центов 1,96
Тритон центов центов 9,78
Квинта центов центов −1,96
Малая секста центов центов −13,69
Большая секста центов центов 15,64
Малая септима центов центов 3,91
Большая септима центов центов 11,73
Октава центов центов 0
Закрыть

Расчётные частоты для клавиатуры фортепиано

Примечания

  • Значения частот рассчитаны исходя из стандартной частоты камертона ля1 = 440 Гц.
  • О феномене неточного равенства рассчитанных и реальных частот настроенного фортепиано (расширения интервалов на краях диапазона), см. Кривые Рейлсбека.

Субконтроктава

Охватывает звуки с частотами от 16,352 Гц (включительно) до 32,703 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 0.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 16,352 До2 C2 C0 -52 Thumb
2 18,354 Ре2 D2 D0 -50
3 20,602 Ми2 E2 E0 -48
4 21,827 Фа2 F2 F0 -47
5 24,500 Соль2 G2 G0 -45
6 27,500 Ля2 A2 A0 -43
7 30,868 Си2 H2 B0 -41
Закрыть

Контроктава

Охватывает звуки с частотами от 32,703 Гц (включительно) до 65,406 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы и справа снизу ставится цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 1.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 32,703 До1 C1 C1 -40 Thumb
2 36,708 Ре1 D1 D1 -38
3 41,203 Ми1 E1 E1 -36
4 43,654 Фа1 F1 F1 -35
5 48,999 Соль1 G1 G1 -33
6 55,000 Ля1 A1 A1 -31
7 61,735 Си1 H1 B1 -29
Закрыть

Большая октава

Охватывает звуки с частотами от 65,406 Гц (включительно) до 130,81 Гц. Наименования ступеней записываются с большой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 2.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 65,406 До C C2 -28 Thumb
2 73,416 Ре D D2 -26
3 82,406 Ми E E2 -24
4 87,307 Фа F F2 -23
5 97,999 Соль G G2 -21
6 110,00 Ля A A2 -19
7 123,47 Си H B2 -17
Закрыть

Малая октава

Охватывает звуки с частотами от 130,81 Гц (включительно) до 261,63 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы без дополнительных цифр или штрихов. В научной нотации имеет номер 3.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 130,81 до c C3 -16 Thumb
2 146,83 ре d D3 -14
3 164,81 ми e E3 -12
4 174,61 фа f F3 -11
5 196,00 соль g G3 -9
6 220,00 ля a A3 -7
7 246,94 си h B3 -5
Закрыть

Первая октава

Включает звуки с частотами от 261,63 Гц (включительно) до 523,25 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 1 (или один штрих). В научной нотации имеет номер 4.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 261,63 до1 c1 C4 -4 Thumb
2 293,67 ре1 d1 D4 -2
3 329,63 ми1 e1 E4 -0
4 349,23 фа1 f1 F4 +0
5 392,00 соль1 g1 G4 +2
6 440,00 ля1 a1 A4 +4
7 493,88 си1 h1 B4 +6
Закрыть

Вторая октава

Включает звуки с частотами от 523,25 Гц (включительно) до 1046,5 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 2 (или два штриха). В научной нотации имеет номер 5.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 523,25 до2 c2 C5 +7 Thumb
2 587,33 ре2 d2 D5 +9
3 659,26 ми2 e2 E5 +11
4 698,46 фа2 f2 F5 +12
5 783,99 соль2 g2 G5 +14
6 880,00 ля2 a2 A5 +16
7 987,77 си2 h2 B5 +18
Закрыть

Третья октава

Включает звуки с частотами от 1046,5 Гц (включительно) до 2093,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 3 (или три штриха). В научной нотации имеет номер 6.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 1046,5 до3 c3 C6 +19 Thumb
2 1174,7 ре3 d3 D6 +21
3 1318,5 ми3 e3 E6 +23
4 1396,9 фа3 f3 F6 +24
5 1568,0 соль3 g3 G6 +26
6 1760,0 ля3 a3 A6 +28
7 1975,5 си3 h3 B6 +30
Закрыть

Четвёртая октава

Включает звуки с частотами от 2093,0 Гц (включительно) до 4186,0 Гц. Наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 4 (или четыре штриха). В научной нотации имеет номер 7.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 2093,0 до4 c4 C7 +31 Thumb
2 2349,3 ре4 d4 D7 +33
3 2637,0 ми4 e4 E7 +35
4 2793,8 фа4 f4 F7 +36
5 3136,0 соль4 g4 G7 +38
6 3520,0 ля4 a4 A7 +40
7 3951,1 си4 h4 B7 +42
Закрыть

Пятая октава

Включает звуки с частотами от 4186,0 Гц (включительно) до 8372,0 Гц. В нотации Гельмгольца наименования ступеней записываются с маленькой буквы, справа сверху пишется цифра 5 (или пять штрихов). В научной нотации имеет номер 8.

Подробнее Номер ступени, Частота, Гц ...
Номер ступени Частота, Гц Слоговое обозначения по Гельмгольцу Буквенное обозначение по Гельмгольцу Американская нотация Координатно-частотная нотация Классическая музыкальная нотация
1 4186,0 до5 c5 C8 +43 Thumb
2 4698,6 ре5 d5 D8 +45
3 5274,0 ми5 e5 E8 +47
4 5587,7 фа5 f5 F8 +48
5 6271,9 соль5 g5 G8 +50
6 7040,0 ля5 a5 A8 +52
7 7902,1 си5 h5 B8 +54
Закрыть
Remove ads

Варианты равномерной темперации

Наиболее общепринятой и распространённой равномерной темперацией (РТ) является 12-ступенная (именно ей соответствовала приведённая выше информация).

Однако существуют и варианты равномерной темперации с другим числом делений октавы (n). При этом формула для частот модифицируется в

.

Чтобы выражение «n-ступенная РТ» писать короче, вводится сокращение «n-тРТ»[источник не указан 4481 день], где числу n соответствует количество ступеней на октаву. Есть музыкальные произведения, написанные в 19-тРТ[4], 24-тРТ, 31-тРТ[5] и даже 53-тРТ[6]. В начале XXI века П. А. Чернобривец работает над исследованием 20-ступенной равномерной темперации[7].

Выбор значения n = 12 в качестве основного обусловлен тем, что для акустически чистого звучания многоголосных музыкальных произведений особенно важно чистое звучание квинт (как наиболее «консонансных», не считая октавы, интервалов), а в идеале соотношение частот образующих квинту нот должно равняться 3/2. При РТ «квинта» для каждого n отвечает такому числу k, что , и перебором можно проверить, что при n = 12 (с k = 7 — это ближайшее целое к ln(3/2)/ln(2)n) достигается лучшее приближение, нежели при меньших или несколько бо́льших n (точнее было бы при n = 41 или n = 53, но слишком большие n неудобны с практической точки зрения)[8].

Равномерные темперации могут также делить иной интервал, не только октаву, на целое число равных ступеней. Чтобы избежать неясности, в англоязычной литературе, например, широко используется словосочетание «equal divisions of an octave» или его сокращённая форма EDO. В русском языке тот же смысл передаёт словосочетание «равные деления октавы» или РДО. Поэтому 12-тРТ может также обозначаться как 12РДО, 19-тРТ как 19РДО и так далее[9].

Remove ads

Равномерно темперированный и другие строи

Наряду с господствующим ныне равномерно темперированным строем существовали и другие строи. Русский исследователь музыки XIX века Владимир Одоевский, например, написал так:

Русский простолюдин с музыкальным дарованием, у которого ухо ещё не испорчено ни уличными шарманками, ни итальянскою оперою, поет весьма верно; и по собственному чутью берет интервал весьма отчетливо, разумеется, не в нашей уродливой темперированной гамме <…> Я записывал с голоса [известного нашего русского певца Ивана Евстратиевича Молчанова, человека с чудною музыкальною организациею] весьма интересную песню: «У Троицы, у Сергия, было под Москвою» <…> заметил, что Si певца никак не подходит к моему фортепианному Si; и Молчанов также заметил, что здесь что-то не то <…> Это навело меня на мысль устроить фортепиано нетемперированное в такой системе, как обыкновенное. За основание я принял естественную гамму, вычисленную акустическими логарифмами по методе Прони; в этом энгармоническом клавицине все квинты чистые, диезы, отмеченные красным цветом, отделены от бемолей и по невозможности в самом механизме инструмента, я пожертвовал fa и ut, чтобы сохранить si и mi, потому что наши народные певцы — по непонятной для меня причине поют более в диезных нежели в бемольных тонах

В. Ф. Одоевский[10]

Широкомасштабное движение музыкантов-аутентистов практикует воспроизведение музыки прошлого в тех строях, в которых исполняемая ими музыка была написана.

В неевропейской традиционной музыке сохраняется практика использования строев, отличающихся от равномерно темперированного, — во всех жанрах и формах мощной макамо-мугамной традиции[11], а также в индийской[12] и др.

Remove ads

Примечания

Литература

Ссылки

Wikiwand in your browser!

Seamless Wikipedia browsing. On steroids.

Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.

Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.

Remove ads