Секвенциальное замыкание

Секвенциальная замкнутость — более слабое свойство, чем топологическая замкнутость. Если множество топологически замкнуто, то оно и секвенциально замкнуто, но не наоборот.

Сходимость по топологии

Пусть ${\displaystyle (X,{\tau })}$ — топологическое пространство. Говорят что ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ сходится по топологии ${\displaystyle {\tau }}$ к ${\displaystyle x\in X}$, если ${\displaystyle \forall }$ окрестности ${\displaystyle U(x)\exists N\forall n>N:x_{n}\in U(x)}$ и обозначают ${\displaystyle x_{n}{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}x}$.

Секвенциальная точка прикосновения

Пусть ${\displaystyle (X,{\tau })}$ — топологическое пространство. Точка ${\displaystyle x\in X}$ называется секвенциальной точкой прикосновения множества ${\displaystyle S\subset X}$, если существует последовательность ${\displaystyle \{x_{n}\}\subset S}$, такая что ${\displaystyle x_{n}{\stackrel {\tau }{\longrightarrow }}x}$.

Секвенциальная замкнутость

Множество ${\displaystyle S\in X}$ называется секвенциально замкнутым если любая его секвенциальная точка прикосновения принадлежит ему.

Секвенциальное замыкание

Множество всех секвенциальных точек прикосновения ${\displaystyle X}$ называется его секвенциальным замыканием.