Регулярное простое число

В теории чисел регулярное простое число — всякое простое число р, для которого число классов идеалов кругового поля не делится на р. Все остальные простые нечётные числа называются иррегулярными.

Несколько первых регулярных простых чисел^[1]:

3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 41, …

Свойства

Регулярные числа — это в точности куммеровы простые числа, однако доказывается это довольно сложно. Для проверки числа на куммеровость может быть использован так называемый критерий Куммера: p куммерово тогда и только тогда, когда числители всех чисел Бернулли ${\displaystyle B_{2},B_{4},\dots ,B_{p-3}}$ не делятся на p.

Предполагается, что регулярных простых чисел бесконечно много, однако это утверждение не доказано.

Регулярные числа ввел Куммер^[2] при попытке доказательства теоремы Ферма. Одна из полученных теорем, с учётом совпадения регулярности и куммеровости, утверждает следующее:

Если простое p регулярно, то для него уравнение ${\displaystyle x^{p}+y^{p}=z^{p}}$ не имеет решений в натуральных числах.

Иррегулярное простое число

Простое число, не являющееся регулярным, называется иррегулярным простым числом. Несколько первых иррегулярных простых чисел^[3]:

37, 59, 67, 101, 103, 131, 149, 157, 233, 257, 263, 271, 283, 293, …

Иенсен доказал, что существует бесконечно много иррегулярных простых чисел.

Иррегулярные пары

Если p — иррегулярное простое число, то p делит без остатка числитель числа Бернулли B_2k для некоторого чётного индекса 2k в интервале 0 < 2k < p −1. При этом пара чисел (p, 2k) называется иррегулярной парой. Первые несколько иррегулярных пар^[4]:

(691, 12), (3617, 16), (43867, 18), (283, 20), (617, 20), (131, 22), (593, 22), (103, 24), …

Для заданного простого p число таких пар называется индексом нерегулярности числа p. Таким образом, простое число регулярно тогда и только тогда, когда индекс иррегулярности равен нулю. Аналогично, простое число иррегулярно тогда и только тогда, когда его индекс иррегулярности положителен.

Обнаружено, что при p < 30000 пара (p, p−3) является иррегулярной лишь для простого числа Вольстенхольма p = 16843.

Примечания

1. Последовательность A007703 в OEIS
2. Kummer, 1850.
3. Последовательность A000928 в OEIS
4. Последовательность A189683 в OEIS

Литература

• Постников М. М. Введение в теорию алгебраических чисел. — М.: Наука, 1982.
• Боревич З. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. — М.: Наука, 1985.
• Ernst Kummer. Allgemeiner Beweis des Fermat'schen Satzes, dass die Gleichung x^λ + y^λ = z^λ durch ganze Zahlen unlösbar ist, für alle diejenigen Potenz-Exponenten λ, welche ungerade Primzahlen sind und in den Zählern der ersten (λ-3)/2 Bernoulli'schen Zahlen als Factoren nicht vorkommen // J. Reine Angew. Math. — 1850. — Вып. 40. — С. 131—138.