Расстояние Левенштейна

Расстояние Левенштейна (редакционное расстояние, дистанция редактирования) — метрика, измеряющая по модулю разность между двумя последовательностями символов. Она определяется как минимальное количество односимвольных операций (а именно вставки, удаления, замены), необходимых для превращения одной последовательности символов в другую. В общем случае, операциям, используемым в этом преобразовании, можно назначить разные цены. Широко используется в теории информации и компьютерной лингвистике.

Впервые задачу поставил в 1965 году советский математик Владимир Левенштейн при изучении последовательностей ${\displaystyle 0-1}$^[1], впоследствии более общую задачу для произвольного алфавита связали с его именем. Большой вклад в изучение вопроса внёс Дэн Гасфилд^[2].

Применение

Расстояние Левенштейна и его обобщения активно применяется:

• для исправления ошибок в слове (в поисковых системах, базах данных, при вводе текста, при автоматическом распознавании отсканированного текста или речи).
• для сравнения текстовых файлов утилитой diff и ей подобными. Здесь роль «символов» играют строки, а роль «строк» — файлы.
• в биоинформатике для сравнения генов, хромосом и белков.

С точки зрения приложений определение расстояния между словами или текстовыми полями по Левенштейну обладает следующими недостатками:

1. При перестановке местами слов или частей слов получаются сравнительно большие расстояния;
2. Расстояния между совершенно разными короткими словами оказываются небольшими, в то время как расстояния между очень похожими длинными словами оказываются значительными.

Редакционное предписание

Редакционным предписанием называется последовательность действий, необходимых для получения из первой строки второй кратчайшим образом. Обычно действия обозначаются так: D (англ. delete) — удалить, I (англ. insert) — вставить, R (replace) — заменить, M (match) — совпадение.

Например, для 2 строк «CONNECT» и «CONEHEAD» можно построить следующую таблицу преобразований:

M	M	M	R	I	M	R	R
C	O	N	N		E	C	T
C	O	N	E	H	E	A	D

Найти только расстояние Левенштейна — более простая задача, чем найти ещё и редакционное предписание (подробнее см. ниже).

Обобщения

Разные цены операций

Цены операций могут зависеть от вида операции (вставка, удаление, замена) и/или от участвующих в ней символов, отражая разную вероятность мутаций в биологии^[3], разную вероятность разных ошибок при вводе текста и т. д. В общем случае:

• w(a, b) — цена замены символа a на символ b
• w(ε, b) — цена вставки символа b
• w(a, ε) — цена удаления символа a

Необходимо найти последовательность замен, минимизирующую суммарную цену. Расстояние Левенштейна является частным случаем этой задачи при

• w(a, а) = 0
• w(a, b) = 1 при a≠b
• w(ε, b) = 1
• w(a, ε) = 1

Как частный случай, так и задачу для произвольных w, решает алгоритм Вагнера — Фишера, приведённый ниже. Здесь и ниже мы считаем, что все w неотрицательны, и действует неравенство треугольника: замена двух последовательных операций одной не увеличит общую цену (например, замена символа x на y, а потом y на z не лучше, чем сразу x на z).

Транспозиция

Если к списку разрешённых операций добавить транспозицию (два соседних символа меняются местами), получается расстояние Дамерау — Левенштейна. Для неё также существует алгоритм, требующий O(MN) операций. Дамерау показал, что 80 % ошибок при наборе текста человеком являются транспозициями. Кроме того, расстояние Дамерау — Левенштейна используется и в биоинформатике.

Формула

Здесь и далее считается, что элементы строк нумеруются с первого, как принято в математике, а не с нулевого, как принято во многих языках программирования.

Пусть ${\displaystyle S_{1}}$ и ${\displaystyle S_{2}}$ — две строки (длиной ${\displaystyle M}$ и ${\displaystyle N}$ соответственно) над некоторым алфавитом, тогда редакционное расстояние (расстояние Левенштейна) ${\displaystyle {\rm {d}}(S_{1},S_{2})}$ можно подсчитать по следующей рекуррентной формуле

${\displaystyle \ {\rm {d}}(S_{1},S_{2})=D(M,N)}$ , где

${\displaystyle D(i,j)=\left\{{\begin{array}{llcl}0,&&&i=0,\ j=0\\i,&&&j=0,\ i>0\\j,&&&i=0,\ j>0\\\min\{\\&D(i,j-1)+1,\\&D(i-1,j)+1,&&j>0,\ i>0\\&D(i-1,j-1)+{\rm {m}}(S_{1}[i],S_{2}[j])\\\}\end{array}}\right.}$,

где ${\displaystyle {\rm {m}}(a,b)}$ равна нулю, если ${\displaystyle a=b}$ и единице в противном случае; ${\displaystyle \min\{\,a,b,c\,\}}$ возвращает наименьший из аргументов.

Здесь шаг по ${\displaystyle i}$ символизирует удаление (D) из первой строки, по ${\displaystyle j}$ — вставку (I) в первую строку, а шаг по обоим индексам символизирует замену символа (R) или отсутствие изменений (M).

Очевидно, справедливы следующие утверждения:

• ${\displaystyle {\rm {d}}(S_{1},S_{2})\geqslant {\bigl |}|S_{1}|-|S_{2}|{\bigr |}}$
• ${\displaystyle {\rm {d}}(S_{1},S_{2})\leqslant \max {\bigl (}|S_{1}|,|S_{2}|{\bigr )}}$
• ${\displaystyle \mathop {\rm {d}} (S_{1},S_{2})=0\Leftrightarrow S_{1}=S_{2}}$

Пример работы алгоритма.

		P	O	L	Y	N	O	M	I	A	L
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
E	1	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
X	2	2	2	3	4	5	6	7	8	9	10
P	3	2	3	3	4	5	6	7	8	9	10
O	4	3	2	3	4	5	5	6	7	8	9
N	5	4	3	3	4	4	5	6	7	8	9
E	6	5	4	4	4	5	5	6	7	8	9
N	7	6	5	5	5	4	5	6	7	8	9
T	8	7	6	6	6	5	5	6	7	8	9
I	9	8	7	7	7	6	6	6	6	7	8
A	10	9	8	8	8	7	7	7	7	6	7
L	11	10	9	8	9	8	8	8	8	7	6

Доказательство

Рассмотрим формулу более подробно. Очевидно, что редакционное расстояние между двумя пустыми строками равно нулю. Так же очевидно то, что чтобы получить пустую строку из строки длиной ${\displaystyle i}$, нужно совершить ${\displaystyle i}$ операций удаления, а чтобы получить строку длиной ${\displaystyle j}$ из пустой, нужно произвести ${\displaystyle j}$ операций вставки.

Осталось рассмотреть нетривиальный случай, когда обе строки непусты.

Для начала заметим, что в оптимальной последовательности операций их можно произвольно менять местами. В самом деле, рассмотрим две последовательные операции:

• Две замены одного и того же символа — неоптимально (если мы заменили x на y, потом — y на z, выгоднее было сразу заменить x на z).
• Две замены разных символов можно менять местами
• Два стирания или две вставки можно менять местами
• Вставка символа с его последующим стиранием — неоптимально (можно их обе отменить)
• Стирание и вставку разных символов можно менять местами
• Вставка символа с его последующей заменой — неоптимально (излишняя замена)
• Вставка символа и замена другого символа меняются местами
• Замена символа с его последующим стиранием — неоптимально (излишняя замена)
• Стирание символа и замена другого символа меняются местами

Пусть ${\displaystyle S_{1}}$ кончается на символ «a», ${\displaystyle S_{2}}$ кончается на символ «b». Есть три варианта:

1. Символ «а», на который кончается ${\displaystyle S_{1}}$, в какой-то момент был стёрт. Сделаем это стирание первой операцией. Тогда мы стёрли символ «a», после чего превратили первые ${\displaystyle i-1}$ символов ${\displaystyle S_{1}}$ в ${\displaystyle S_{2}}$ (на что потребовалось ${\displaystyle D(i-1,\ j)}$ операций), значит, всего потребовалось ${\displaystyle D(i-1,\ j)+1}$ операций
2. Символ «b», на который кончается ${\displaystyle S_{2}}$, в какой-то момент был добавлен. Сделаем это добавление последней операцией. Мы превратили ${\displaystyle S_{1}}$ в первые ${\displaystyle j-1}$ символов ${\displaystyle S_{2}}$, после чего добавили «b». Аналогично предыдущему случаю, потребовалось ${\displaystyle D(i,\ j-1)+1}$ операций.
3. Оба предыдущих утверждения неверны. Если мы добавляли символы справа от финального «a», то, чтобы сделать последним символом «b», мы должны были или в какой-то момент добавить его (но тогда утверждение 2 было бы верно), либо заменить на него один из этих добавленных символов (что тоже невозможно, потому что добавление символа с его последующей заменой неоптимально). Значит, символов справа от финального «a» мы не добавляли. Самого финального «a» мы не стирали, поскольку утверждение 1 неверно. Значит, единственный способ изменения последнего символа — его замена. Заменять его 2 или больше раз неоптимально. Значит,
   1. Если ${\displaystyle a=b}$, мы последний символ не меняли. Поскольку мы его также не стирали и не приписывали ничего справа от него, он не влиял на наши действия, и, значит, мы выполнили ${\displaystyle D(i-1,\ j-1)}$ операций.
   2. Если ${\displaystyle a\neq b}$, мы последний символ меняли один раз. Сделаем эту замену первой. В дальнейшем, аналогично предыдущему случаю, мы должны выполнить ${\displaystyle D(i-1,\ j-1)}$ операций, значит, всего потребуется ${\displaystyle D(i-1,\ j-1)+1}$ операций.

Алгоритм Вагнера — Фишера

Для нахождения кратчайшего расстояния необходимо вычислить матрицу D, используя вышеприведённую формулу. Её можно вычислять как по строкам, так и по столбцам. Псевдокод алгоритма:

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
 вернуть D(M, N)

Или в более развёрнутом виде, и при произвольных ценах замен, вставок и удалений:

 D(0, 0) = 0
 для всех j от 1 до N
   D(0, j) = D(0, j - 1) + цена вставки символа S2[j]
 для всех i от 1 до M
   D(i, 0) = D(i - 1, 0) + цена удаления символа S1[i]
 для всех j от 1 до N
   D(i, j) = min{
     D(i - 1, j) + цена удаления символа S1[i],
     D(i, j - 1) + цена вставки символа S2[j],
     D(i - 1, j - 1) + цена замены символа S1[i] на символ S2[j]
   }
 вернуть D(M, N)

(Напоминаем, что элементы строк нумеруются с первого, а не с нулевого.)

Для восстановления редакционного предписания требуется вычислить матрицу D, после чего идти из правого нижнего угла (M,N) в левый верхний, на каждом шаге ища минимальное из трёх значений:

• если минимально (${\displaystyle D(i-1,j)}$+ цена удаления символа S1[i]), добавляем удаление символа S1[i] и идём в (i-1, j)
• если минимально (${\displaystyle D(i,j-1)}$+ цена вставки символа S2[j]), добавляем вставку символа S2[j] и идём в (i, j-1)
• если минимально (${\displaystyle D(i-1,j-1)}$+ цена замены символа S1[i] на символ S2[j]), добавляем замену S1[i] на S2[j] (если они не равны; иначе ничего не добавляем), после чего идём в (i-1, j-1)

Здесь (i, j) — клетка матрицы, в которой мы находимся на данном шаге. Если минимальны два из трёх значений (или равны все три), это означает, что есть 2 или 3 равноценных редакционных предписания.

Этот алгоритм называется алгоритмом Вагнера — Фишера. Он предложен Р. Вагнером (R. A. Wagner) и М. Фишером (M. J. Fischer) в 1974 году.^[4]

Память

Алгоритм в виде, описанном выше, требует ${\displaystyle \Theta (M\cdot N)}$ операций и такую же память. Последнее может быть неприятным: так, для сравнения файлов длиной в 10⁵ строк потребуется около 40 гигабайт памяти.

Если требуется только расстояние, легко уменьшить требуемую память до ${\displaystyle \Theta (\min\{\,M,N\,\})}$. Для этого надо учесть, что после вычисления любой строки предыдущая строка больше не нужна. Более того, после вычисления D(i, j) не нужны также D(i-1,0) … D(i-1,j-1). Поэтому алгоритм можно переписать как

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
   если i > 0
     стереть строку D(i - 1)
 вернуть D(M, N)

или даже

 для всех i от 0 до M
   для всех j от 0 до N
     вычислить D(i, j)
     если i > 0 и j > 0
       стереть D(i - 1, j - 1)
 вернуть D(M, N)

Если требуется редакционное предписание, экономия памяти усложняется.

Для того, чтобы обеспечить время ${\displaystyle \Theta (M\cdot N)}$ при памяти ${\displaystyle \Theta (\min\{\,M,N\,\})}$, определим матрицу E минимальных расстояний между суффиксами строк, то есть E(i, j) — расстояние между последними i символами ${\displaystyle S_{1}}$ и последними j символами ${\displaystyle S_{2}}$. Очевидно, матрицу E можно вычислить аналогично матрице D, и так же быстро.

Теперь опишем алгоритм, считая, что ${\displaystyle S_{2}}$ — кратчайшая из двух строк.

• Если длина одной из строк (или обеих) не больше 1, задача тривиальна. Если нет, выполним следующие шаги.
• Разделим строку ${\displaystyle S_{1}}$ на две подстроки длиной ${\displaystyle M/2}$. (Если M нечётно, то длины подстрок будут ${\displaystyle (M-1)/2}$ и ${\displaystyle (M+1)/2}$.) Обозначим подстроки ${\displaystyle S_{1}^{-}}$ и ${\displaystyle S_{1}^{+}}$.
• Для ${\displaystyle S_{1}^{-}}$ вычислим последнюю строку матрицы D, а для ${\displaystyle S_{1}^{+}}$ — последнюю строку матрицы E.
• Найдём i такое, что ${\displaystyle D(|S_{1}^{-}|,i)+E(|S_{1}^{+}|,N-i)}$ минимально. Здесь D и Е — матрицы из предыдущего шага, но мы используем только их последние строки. Таким образом, мы нашли разбиение ${\displaystyle S_{2}}$ на две подстроки, минимизирующее сумму расстояния левой половины ${\displaystyle S_{1}}$ до левой части ${\displaystyle S_{2}}$ и расстояния правой половины ${\displaystyle S_{1}}$ до правой части ${\displaystyle S_{2}}$. Следовательно, левая подстрока ${\displaystyle S_{2}}$ соответствует левой половине ${\displaystyle S_{1}}$, а правая — правой.
• Рекурсивно ищем редакционное предписание, превращающее ${\displaystyle S_{1}^{-}}$ в левую часть ${\displaystyle S_{2}}$ (то есть в подстроку ${\displaystyle S2[1...i]}$)
• Рекурсивно ищем редакционное предписание, превращающее ${\displaystyle S_{1}^{+}}$ в правую часть ${\displaystyle S_{2}}$ (то есть в подстроку ${\displaystyle S2[i+1...N]}$).
• Объединяем оба редакционных предписания.^[5]

Время выполнения удовлетворяет (с точностью до умножения на константу) условию

${\displaystyle T(M,N)=MN+T(M/2,N')+T(M/2,N-N'),\ 0\leq N'\leq N}$,

откуда следует (доказывается индукцией по M)

${\displaystyle T(M,N)\leq 2MN}$

следовательно

${\displaystyle T(M,N)=\Theta (M\cdot N)}$

Требуемая память пропорциональна ${\displaystyle N+N/2+N/4+...=2N}$

Кроме того, есть алгоритмы, экономящие память за счёт существенного замедления, например, время становится кубическим, а не квадратичным, по длине строк.

Примечания

1. В. И. Левенштейн. Двоичные коды с исправлением выпадений, вставок и замещений символов. Доклады Академий Наук СССР, 1965. 163.4:845-848.
2. Гасфилд. Строки, деревья и последовательности в алгоритмах. Информатика и вычислительная биология. Невский Диалект БВХ-Петербург, 2003.
3. См., например: http://www.medlit.ru/medrus/mg/mg080237.htm Архивная копия от 8 марта 2012 на Wayback Machine
4. R. A. Wagner, M. J. Fischer. The string-to-string correction problem. J. ACM 21 1 (1974). P. 168—173
5. При этом во втором редакционном предписании нужно увеличить номера символов первой строки на ${\displaystyle |S_{1}^{-}|}$, а второй строки на ${\displaystyle i}$, поскольку теперь они отсчитываются с начала строк, a не с их середины.