Равенство Парсеваля

Ра́венство Парсева́ля — это аналог теоремы Пифагора в векторных пространствах со скалярным произведением. Названо по аналогии с теоремой для периодических функций, сформулированной Парсевалем в 1799 году.

Формулировка

Пусть ${\displaystyle H}$ — гильбертово пространство со скалярным произведением ${\displaystyle \langle \cdot ,\cdot \rangle }$. Обозначим ${\displaystyle \|x\|={\sqrt {\langle x,x\rangle }}}$ индуцированную этим скалярным произведением норму. Тогда если ${\displaystyle \{e_{k}\}_{k=1}^{\infty }}$ — ортонормированный базис в ${\displaystyle H}$, то

${\displaystyle \|x\|^{2}=\sum _{k=1}^{\infty }\left|\langle x,e_{k}\rangle \right|^{2}.}$

См. также

• Ряд Фурье
• Неравенство Бесселя

Литература

• Богачёв В. И., Смолянов О. Г., Действительный и функциональный анализ: университетский курс Архивная копия от 29 июля 2021 на Wayback Machine. — М.-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», Институт компьютерных исследований, 2009. — 724 с.

• Садовничий В. А., Теория операторов. — 2-е изд. — М.: Изд-во Моск. ун-та, 1986. — 368 c.