Проективная группа

Проективная группа — группа преобразований проективного пространства, индуцируемых линейными преобразованиями соответствующего векторного пространства. Её элементы называются проективными преобразованиями — они обобщают проективные преобразования проективной плоскости. С матричной точки зрения проективная группа — это группа всех невырожденных матриц с точностью до скалярных матриц.

Определение

Пусть ${\displaystyle V}$ — векторное пространство над полем ${\displaystyle F}$ (или, более обще, над телом ${\displaystyle K}$), а ${\displaystyle GL(V)}$ — его полная линейная группа, то есть группа всех обратимых линейных преобразований. Эта группа коммутирует с гомотетиями ${\displaystyle Z(V)}$ пространства ${\displaystyle V}$ (умножениями на ненулевые константы поля ${\displaystyle F}$), а потому её элементы индуцируют преобразования проективного пространства ${\displaystyle \mathbb {P} (V)=V/Z(V)}$ (факторпространство по действию группы ${\displaystyle Z(V)}$).

Некоторые из этих индуцированных преобразований действуют на ${\displaystyle \mathbb {P} (V)}$ тривиально — это в точности элементы группы гомотетий ${\displaystyle Z(V)\cong F^{*}}$ пространства ${\displaystyle V}$. Проективная группа — это факторгруппа по ядру действия:

${\displaystyle PGL(V)=GL(V)/Z(V)}$.

Если в пространстве ${\displaystyle V}$ явным образом выбрать координаты, то есть изоморфизм ${\displaystyle V\cong F^{n}}$ для натурального ${\displaystyle n}$, получится

${\displaystyle PGL_{n}(F)=GL_{n}(F)/F^{*}}$,

то есть проективная группа является факторгруппой группы невырожденных матриц по подгруппе ненулевых скалярных матриц.

Обобщения

Если вместо полной линейной группы ${\displaystyle \mathbb {G} L(V)}$ взять специальную линейную группу ${\displaystyle \mathbb {S} L(V)}$, то есть ограничиться линейными преобразованиями с определителем 1, то получится проективная специальная линейная группа ${\displaystyle PSL(V)}$, также называемая унимодулярной проективной группой.

Свойства

• Если ${\displaystyle F_{q}}$ — конечное поле из ${\displaystyle q}$ элементов, то порядок группы равен ${\displaystyle |PSL_{n}(F_{q})|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1)}$^[1].
• При ${\displaystyle n\geqslant 2}$ группа ${\displaystyle PSL_{n}(F)}$ проста, за исключением случаев ${\displaystyle PSL_{2}(F_{2})}$ и ${\displaystyle PSL_{2}(F_{3})}$^[1].

Примечания

1. Vinberg, E.B. (2001), "Projective group", in Hazewinkel, Michiel (ed.), Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4